第24讲 诱导公式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第24讲 诱导公式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共18页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式；
2.能够熟练地运用诱导公式，将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，进行求值、化简和证明；
3.通过三角函数诱导公式的学习，体验“把未知转化为已知”这重要的化归思想.
1 诱导公式
利用以上6组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.
(1) 公式(一) sinα+2kπ=sinα; cs (α+2kπ)=cs α ; tan (α+2kπ)=tan α.
(2) 公式(二) sin (π+α)=-sin α ; cs (π+α)=-cs α ; tan (π+α)=tan α.
(3) 公式(三) sin (-α)=-sin α ; cs (-α)=cs α ; tan (-α)=-tan α.
(4) 公式(四) sin (π-α)=sin α ; cs (π-α)=-cs α ; tan (π-α)=-tan α.
(5) 公式(五) sin (π2-α)=cs α ; cs (π2-α)=sin α.
(6) 公式(六) sin (π2+α)=csα ; cs (π2+α)=-sin α.
2 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
(奇偶指的是π2∙n+α中整数n是奇数还是偶数，看象限时把α看作锐角)
sin π2∙n+α= (-1)n2 sin α , n为偶数-1n+12cs α , n为奇数 cs (π2∙n+α)= (-1)n2 cs α , n为偶数-1n+12sin α , n为奇数
3 常见结论
(1) A+B=π⇒sinA=sinB，csA=-csB；
(2) A+B=π2 ⇒sinA=csB.
【题型一】 诱导公式的证明
【典题1】 证明公式(二) sin (π+α)=-sin α ; cs (π+α)=-cs α ; tan (π+α)=tan α.
【证明】如下图，α的终边与单位圆交于P1(x , y)，则π+α的终边与单位圆交于P2，
显然P2与P1关于原点对称，则P2(-x , -y).
由三角函数的定义，可知sinα=y,csα=x,tanα=yx;
sinπ+α=-y,csπ+α=-x,tan⁡(π+α)=yx；
故sin (π+α)=-sin α ; cs (π+α)=-cs α ; tan (π+α)=tan α.

【典题2】证明：公式(五) sin (π2-α)=cs α ; cs (π2-α)=sin α.
【证明】如下图，α的终边与单位圆交于P1(x , y)，则π2-α的终边与单位圆交于P5，
显然P5与P1关于y=x对称，则P5(y , x).
由三角函数的定义，可知sinα=y,csα=x;
sinπ2-α=x,csπ2-α=y；
故sin (π2-α)=cs α ; cs (π2-α)=sin α.
变式练习
1. 证明：公式(三) sin (-α)=-sin α ; cs (-α)=cs α ; tan (-α)=-tan α.
【证明】如下图，α的终边与单位圆交于P1(x , y)，则-α的终边与单位圆交于P3，
显然P3与P1关于x轴对称，则P3(x , -y).
由三角函数的定义，可知sinα=y,csα=x,tanα=yx;
sin-α=-y,cs-α=x,tan-α=-yx；
故sin (-α)=-sin α ; cs (-α)=cs α ; tan (-α)=-tan α.
2. 证明：公式(四) sin (π-α)=sin α ; cs (π-α)=-cs α ; tan (π-α)=-tan α.
【证明】如下图，α的终边与单位圆交于P1(x , y)，则π-α的终边与单位圆交于P2，
则P4(-x , y).
由三角函数的定义，可知sinα=y,csα=x,tanα=yx;
sinπ-α=y,csπ-α=-x,tanπ-α=-yx；
故sin (π-α)=sin α ; cs (π-α)=-cs α ; tan (π-α)=-tan α.
3. 证明：公式(六) sin (π2+α)=csα ; cs (π2+α)=-sin α.
【证明】如下图，α的终边与单位圆交于P1(x , y)，则π2+α的终边与单位圆交于P6，
则P6(-y , x).
由三角函数的定义，可知sinα=y,csα=x;sinπ2+α=x,csπ2+α=-y；
故sin (π2+α)=csα ; cs (π2+α)=-sin α.

【题型二】 利用诱导公式给角求值
【典题1】sin-14π3+cs-20π3+tan-11π6= .
【答案】-12-36
【分析】借助诱导公式计算即可得.
【详解】sin-14π3+cs-20π3+tan-11π6
=sin-5π+π3+cs-7π+π3+tan-2π+π6
=-sinπ3-csπ3+tanπ6=-32-12+33=-12-36.
故答案为：-12-36.
变式练习
1.sin210∘的值为( )
A．12B．-12C．32D．-32
【答案】B
【分析】运用诱导公式化简角，再由特殊角的三角函数值即得.
【详解】sin210∘=sin(180∘+30∘)=-sin30∘=-12.
故选：B.
2.tan240∘sin660∘的值为( )
A．12B．-12C．32D．-32
【答案】D
【分析】
由诱导公式和特殊角的三角函数值，化简求值.
【详解】tan240∘sin660∘=tan180∘+60∘sin720∘-60∘=tan60∘-sin60∘=3×-32=-32，
故选：D.
3.设a=sin-870°，b=tan-33π4,c=lg15，则( )
A．a