第27讲 正切函数的性质与图象 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
1 正切函数的图像与性质
注 表中的k∈Z

【题型一】 正切函数图象
1 正切函数的定义域
根据正切函数的定义，tan α=yx(α的终边与单位圆交于点P(x，y))，当交点P(x，y)在y轴上时，x=0，即当x=π2+kπ，k∈Z，则tan α没意义.
故y=tan⁡x的定义域是x≠π2+kπ，k∈Z.
2 正切函数的周期性
由诱导公式 tan⁡(x+π)=tan⁡x,x∈R，且x≠π2+kπ,k∈Z，
可知道，正切函数是周期函数，周期是π.
注 三角函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|.
3 正切函数的奇偶性
由诱导公式 tan⁡(-x)=-tan⁡x,x∈R，且x≠π2+kπ,k∈Z，可知，正切函数是奇函数.
4 正切函数的图象
设x∈0,π2，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的角度B(x0,y0)，过点B作x轴的垂线，垂足是M；
过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tan⁡x=y0x0=MBOM=ATOA=AT.
由此可见，当x∈0,π2时，线段AT的长度就是相应角x的正切值，我们可以利用线段AT画出函数y=tanx,x∈0,π2的图象，如下图；
当x∈0,π2时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于π2时，AT的长度趋向于无穷大.相应地，函数y=tanx,x∈0,π2的图象从左到右呈不断上升的趋势，且向右上方无限逼近直线x=π2.
又因为正切函数是奇函数，且周期为π，
所以我们可以得到正切函数y=tan⁡x,x∈R,x≠π2+kπ,k∈Z的图象，把它叫做正切曲线.
5 正切函数的单调性
观察正切曲线可知，正切函数在-π2，π2上单调递增.
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)上都单调递增.
6 正切函数的值域
当x∈-π2，π2时，tanx在(-∞，+∞)内可取到任意实数值， 但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集R.
【典题1】 画出函数y=2tan12x-π4在x∈[0,2π]上的简图．
【典题2】 函数fx=-tanx-sinx+tanx-sinx|在区间(π2，3π2)内的图象是( )
A．B．
C．D．
变式练习
1.下列四个函数中，以π为最小正周期的偶函数是( )
A．y=tanxB．y=csxC．y=sinxD．y=sinx
2.“α∈0,π2”是“tanα＞0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.当x∈(-π2,π2)∪(π2,3π2)时，函数y=csx与函数y=tanx的图象的交点个数为( )
A．0B．1C．2D．4
【题型二】 正切函数的单调性和对称性
相关知识点讲解
y=tan⁡x的定义域是x≠π2+kπ，k∈Z.
正切函数在每一个区间-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)上都单调递增.
正切函数的对称中心为kπ2 , 0，无对称轴.
【典题1】函数fx=2tanωx+φ0