高中向量数量积的运算律教学设计

这是一份高中向量数量积的运算律教学设计，共8页。教案主要包含了复习引入，新知探究，例题讲解，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、复习引入
师：我们上节课学习了向量数量积的概念，相信大家对于向量的运算已经从向量加减法扩充到了向量乘法，也就是数量积回忆一下，非零向量a与b的数量积如何表示？
生：.
师：向量数量积的性质有哪些？
生：（1）；
（2），即.
（3）.
师：向量数量积的几何意义是什么？
生：两个非零向量的数量积，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
师：看来同学们对向量数量积的定义、性质以及几何意义已经掌握得很扎实了，这节课我们来学习向量数量积的运算律.
二、新知探究
师：上节课我们还做了简单的运算，其实只要研究运算，就要研究运算律.运算律是我们的老朋友了，你们知道哪些运算律？
生：交换律、结合律、分配律.
师：都是在什么范围内适用的？
生：在实数范围内，向量加法，数乘向量.
师：那么向量数量积中有没有运算律？
生：应该有.
师：确实有，所以我们这节课的目标就是掌握向量数量积的运算律及应用.
师：实数乘法中的交换律是如何表示的？
生：.
师：如果将其中所有的实数都换成相应的向量，等式还成立吗？你能给予证明吗？
生：成立，当是两个非零向量时，因为，根据，可知，即向量的数量积满足交换律.
师：向量的数量积满足结合律吗？即成立吗？
生：不成立.左边是m个向量c，右边是n个向量a，如果都是零向量，那么等式成立，否则不成立
师：如果将三个向量变成两个向量和一个实数，那么满足结合律吗？即当是实数且是向量时，是向量，与都是实数，那么这两个实数相等吗？
生：相等.
师：事实上，当都是非零向量且时，
（1）如果，则，且的方向与a的方向相同，从而
，因此
（2）如果，则，且的方向与a的方向相反，从而
，因此
.
当中至少有一个是零向量或时，显然也有.
当然，用同样的方法可以得到
师：因此，向量的数量积满足数乘结合律：
师：实数分配律的内容是什么？
生：
师：将其中所有的实数都换成相应的向量，等式还成立吗？
生：成立可以从向量数量积的几何意义来考虑.
（1）当中至少有一个是零向量时，分配律显然成立.
（2）当都不是是零向量时，
此时，，设，即是与c同向的单位向量.
如图，设点O与都在直线l上，且，，则,
过分别作直线l的垂线，则由向量投影的定义可知，a在上的投影为，b以上的投影为，在上的投影为.
又因为，
所以根据向量数量积的几何意义可知
，
在这个式子两边同时乘以，即可知
，
由向量数量积满足以上的运算律还可得到
，
.
师：也就是向量的数量积对加法满足分配律.
师：现在我们来总结一下向量的数量积满足哪些运算律？
生：向量的数量积满足交换律，向量的数量积对数乘向量满足结合律，向量的数量积对加法满足分配律.
师：在我们学习实数的运算律的时候，还用运算律推导了几个重要的公式，给我们带来了很大的方便，比如说完全平方式和平方差公式，如果把其中的实数都换成相应的向量，那么这两个公式到底成不成立呢？下面我们通过证明来验证一下.
三、例题讲解
例1 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）
.
（2）
.
点评：（2）实际上将这三个向量的模与联系起来了.而且，利用完全类似的方法，还可证明：
.
例2 （1）已知，求；
（2）已知，求.
解：（1）由题意可知
，
所以
，
因此.
（2）由题意可知，
即，
因此，
因此.
例3 利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直.
如图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC与BD是两条对角线，求证：.
证明：由已知可得
，
所以
.
又因为四边形ABCD是菱形，
所以，即，
因此，从而，故.
点评：本例的证明中，实际上是选择了为基底，然后将用这两个向量表示出来.选择合适的向量作为基底往往是用类似的向量方法解决几何问题的关键.
例4 利用向量证明三角形的三条高相交于一点.
如图所示，已知△ABC中，BE，CF分别为AC，AB边上的高，而且BE与CF相交于点O，连接AO并延长，与BC相交于点D.求证.
证明：因为，所以，
即，
因此.①
又因为，所以，
即，
因此.②
由①②可得，
因此，
从而，故，即.
点评：本例中的结论我们在初中几何中就已经遇到过，这里实际上是给出了严格的证明，由此可见平面向量数量积的作用之大.
巩固练习：
1.如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，且，则________.
2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：1.18 2.B
四、课堂小结
通过本节课的学习，大家都有什么新的收获？说出来交流一下.
五、布置作业
教材第80页练习A第3，4，5题；练习B第2，3，4题.
板书设计
8.1.2向量数量积的运算律
一、复习引入
1.向量数量积的定义
2.向量数量积的性质
3.向量数量积的几何意义
二、新知探究
向量数量积的运算律：
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律
三、例题讲解
例1
例2
例3
例4
四、课堂小结
1.知识
2.思想方法
五、布置作业