高中数学人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的坐标运算教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的坐标运算教学设计及反思，共6页。教案主要包含了复习，新课，例题，小结，作业等内容，欢迎下载使用。
教学研讨
本案例在设计上主要采用探究式学习，学习的过程是以学生为主体，教师只起到一个辅助的作用.在例题的设计上，采用教材上的5个例题，例题较多，所以没有设置类题练习，课下需要多做练习进行巩固.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引人
回顾：若分别是给定的与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则
提出问题：平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？
学生回答提出的问题，教师点评.
学生合作探索提出的问题.
引导学生经历由特殊到一般的探究发现过程，温故而知新.
概念形成1
探究1：已知向量，
，能否用的坐标表示数量积呢？
归纳1：存在单位正交基底
,使得.,-，，因此
，
从而.
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探究2：设都是非零向量，
，如何计算a与b的夹角
呢？
归纳2：，.
两向量夹角的坐标表示：
.
探究3：探索发现向量的模的坐标表示公式.
若，如何计算呢？
归纳3：.
探究4：若，，如何计算向量的模，即两点间的距离呢？
归纳4：.
教师巡视辅导学生，解决遇到的困难.
学生展示探究结果，教师给予点评.
教师提出问题，学生独立思考探究后合作交流，并展示探究的结果，教师总结.
引导学生通过自主探究以及合作交流，寻求问题的解决方法，及时归纳总结.
为下面的初步应用埋下伏笔.
引导学生再次经历由特殊到一般的探究发现过程.
应用举例1
例1 已知，，求
.
解：由题意可知
，
，
.
又因为
，
所以.
例2 已知点，,,求
的余弦值.
解：因为，
，
所以
，
，
，
因此
.
教师出示例1，提问：已知两个向量的坐标，如何求数量积，如何求模，如何求a与b的夹角呢？
学生思考并给予回答.
教师强调：要求a与b的夹角，需先求及，得出后，再结合夹角的范围确定其值.
教师出示例2，提问：知道点的坐标，如何求向量？
学生思考并回答.
教师找学生上黑板演示.
进一步深化对平面向量数量积的坐标表示的认识和理解，初步运用知识解决问题.
概念形成2
探究5：设，，能否用的坐标表示出的充要条件？
归纳5：.
学生独立思考、探究，合作交流教师让学生展示探究的结论，并进行总结.
让学生经历探究的过程，使其掌握用坐标表示两向量垂直的充要条件.
应用举例2
例3 已知点，，，求证：.
证明：因为
，
，
所以
，
因此.
例4 如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标.
解：由已知可得
.
又因为，设，则，从而有
解得或又因为由图可知，所以.
例5 如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，??⊥??，连接.求证：.
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，从而，.
由已知，可设，其中则，，因此.
又因为，
所以，因此.
例5说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题.
教师出示例3，并提出问题：如何用勾股定理来证明
？用数量积如何证明？
两者谁更简单？
学生思考并给出回答，教师找学生上黑板完成例3，并给予点评.
教师出示例4，提出问题：利用全等能否找出B点的坐标？
教师先找学生上黑板用全等的方法求出B点坐标，然后给予点评.
教师与学生们一起用向量的方法求B点的坐标.
师：解决问题要多角度思考.
教师出示例5，提出问题，图中P点的横坐标与纵坐标有什么关系？
学生思考并回答.
教师找学生上黑板完成证明过程集体订正.
通过例题使学生掌握向量垂直的判定公式的坐标表示，以及向量垂直在平面几何中的应用，提升学生的数学运算、直观想象核心素养.
归纳总结
知识总结：
1.向量的数量积的坐标表示公式.
2.向量模的坐标表示公式.
3.两向量夹角的坐标表示公式.
4.向量垂直的充要条件的坐标表示.
学生回顾反思，教师点评完善.
使学生形成完整的知识体系.
课后作业
1.教材第85页练习A第1~5题.
2.教材第85页练习B第1~5题.
学生独立完成.
巩固新知，提升能力.
8.1.3向量数量积的坐标运算
一、复习
二、新课
1.向量的数量积的坐标表示公式
2.两向量夹角的坐标表示公式
3.向量模的坐标表示公式
4.垂直判定
三、例题
例1
例2
例3
例4
例5
四、小结
五、作业