高中数学人教B版 (2019)必修 第一册函数的单调性教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册函数的单调性教案设计，共5页。教案主要包含了情境导入，新课探究，例题讲解，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
想一想：下图是著名的艾宾浩斯遗忘曲线，通过该曲线能说明什么问题？
答案：它反映人的遗忘规律，随着时间的推移，记忆保持量在逐渐递减.
想一想：如果以表示时间间隔（单位：h），表示记忆保持量（单位：%），从上图中可以看出，是的函数，记这个函数为.从上图及这个函数中能得到的启发是什么？
答案：从函数的角度来讲，对函数，随的增加而减少.
画一画：请同学们画一画函数与的图像，观察所画函数图像，说一说它们有怎样的升降规律.
设计意图：体会函数与的图像的升降规律，增强学生的直观感受，体现直观想象素养.
学生画图后与同学讨论，发表自己的见解.
教师用几何画板在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像，启发学生观察这两个函数图像的升降变化，并交流它们各有什么特点.
教师总结：不同函数，其图像的变化趋势也可能不同；同一函数在不同的区间上的变化趋势也不一定相同.函数的这种变化规律反映了函数的一个重要性质，即函数的单调性.
画一画：请同学们作出函数与的图像，并观察函数图像，说说相同点与不同点.
答案：作出函数与的图像如图所示.
相同点：图像都是反比例函数的图像，且不经过坐标原点.
不同点：图甲中，时，随的增大而减小；图乙中，时，随的增大而增大.
二、新课探究
1.一般地，设函数的定义域为，且：
（1）如果对任意，，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增），如图（1）所示；
（2）如果对任意，，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减），如图（2）所示.
问题：单调性的定义中，，有何特点？
答案：（1）任意性，即，是在定义域内的某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换.
（2）有大小，即确定的两个值，必须区分大小，一般令.
（3）同属一个单调区间.
想一想：理解函数的单调性应注意什么问题？
（学生积极讨论，教师给予评价）
（1）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集.
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性.
（3）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”（或“，”）连接.如函数在和上单调递减，不能表述为：函数在上单调递减.
（4）并非所有的函数都具有单调性.如函数就不具有单调性.
2.尝试与发现.
如图所示的函数在上是增函数，在上是减函数，在上是_____函数，在上是_____函数，在上是______函数.
答案：在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.
议一议：能说函数在上单调递增或单调递减吗？
答案：不能.因为在上函数中不能保证随的增大而增大或随的增大而减小.
三、例题讲解
例1 求证：函数在上是减函数.
要求学生先自己画图，再根据图像判断函数的单调性.
学生相互交流，教师巡回指导.
教师用几何画板展示，学生判断自己的答案对与错，及时改正.
教师指导学生阅读教材例1的答案，指出这是用定义法证明函数的单调性.
师生共同总结用定义法证明函数单调性的步骤：
利用定义证明函数单调性的步骤如下：（1）取值：设，是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：作差，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，将差转化为易判断正负的式子；（3）定号：确定
的符号；（4）结论：根据的符号及定义判断单调性.
教师结合前面所画图像，出示下列定义：一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，记作，称为的最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，记作，称为的最小值点.最大值和最小值统称为最值；最大值点和最小值点统称为最值点.
不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值.
请同学们学习教材第97页例2.
例2 判断函数，的单调性，并求这个函数的最值.
想一想例2用到了哪些知识？求解步骤是什么？
（学生积极讨论）
师：用到函数单调性的定义，函数值的求法.也可利用不等式的性质求解.
求解步骤是：
方法一：（1）判断函数的单调性；
（2）求端点值；
（3）求出最大值和最小值.
方法二：由的取值范围，根据不等式的性质求函数表达式右侧代数式的取值范围，即得到的取值范围，从而求出最大值和最小值.
四、课堂练习
1.教材第102页练习A第1，2题.
2.教材第103页练习B第1，2题.
先让学生独立完成，再讨论交流，统一答案，最后教师讲解评价.
五、课堂小结
主要知识：函数单调性、最大（小）值点和最大（小）值的定义.
主要题型：（1）根据函数图像求函数的单调区间；
（2）用定义证明函数的单调性；
（3）求函数的最值点及最值.
六、布置作业
1.教材第102页练习A第3，4题.
2.教材第103页练习B第3题.
板书设计
第1课时 单调性的定义与证明
函数单调性的定义：
一般地，设函数的定义域为，且：
（1）如果对任意，，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增），如图（1）所示；
（2）如果对任意，，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减），如图（2）所示.
例1 求证：函数在上是减函数.
最值点和最值的定义：
一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，记作，称为的最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，记作，称为的最小值点.最大值和最小值统称为最值；最大值点和最小值点统称为最值点.
例2 判断函数，的单调性，并求这个函数的最值.
课堂小结
主要知识：
函数单调性、最大（小）值点和最大（小）值的定义.