高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时学案

3.1.2　函数的单调性

第2课时

学习目标

1.理解斜率的含义及平均变化率的概念.

2.掌握判断函数单调性的充要条件.

自主预习

阅读课本第97页~101页”2.函数的平均变化率”,并完成下列问题

(1)完成课本这一部分的填空题目.

(2)思考课本第98页“尝试与发现”.

(3)直线斜率.

(4)平均变化率.

(5)平均变化率与函数单调性.

课堂探究

问题探究

任务一　阅读课本第97页~101页完成下列问题.

1.直线的斜率定义.

2.函数平均变化率.

3.函数单调性的充要条件.

4.平均变化率的物理意义.

任务二　简单应用

例1　利用平均变化率证明函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数.

例2　判断直线y=kx+b(k≠0)的单调性.

　　要点归纳

一次函数单调性与k的关系:

例3　证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,+∞)上是增函数.

要点归纳

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性.

　　评价反馈

1.(多选题)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式不恒成立的是(　　)

A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)

2.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图像可能是图中的(　　)

课后作业　课本第102页第6题,第103页B组第1,2题

核心素养专练

函数f(x)=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　. 

参考答案

自主预习

略

课堂探究

任务一　略

任务二　简单应用

例1　解:设x1≠x2,那么=-,

如果x1,x2∈(-∞,0),则x1x2>0,此时<0,所以函数在(-∞,0)上是减函数,同理函数在(0,+∞)上是增函数.

例2　解:设x1≠x2,那么==k.

因此一次函数的单调性取决于k的符号.当k>0时一次函数在R上是增函数;当k<0时一次函数在R上是减函数.

要点归纳　略

例3　证明:设x1≠x2,则==x2+x1+2,

因此当x1,x2∈(-∞,-1]时,x2+x1+2<0,

从而<0,因此函数在(-∞,-1]上是减函数.

因此当x1,x2∈[-1,+∞)时,x2+x1+2>0,

从而>0,因此函数在[-1,+∞)上是增函数.

要点归纳　略

评价反馈

1.ABC

2.B

核心素养专练

10　-2

学习目标

1.了解函数的平均变化率,理解函数单调性与平均变化率的关系.

2.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性.在运用函数单调性充要条件过程中,提升数学运算和逻辑推理素养.

3.会根据函数的单调性解决一些实际问题,提升学生数学建模、数据分析的核心素养.

自主预习

1.函数的平均变化率

一般地,当x1≠x2时,称=为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.

2.函数单调递增、递减的充要条件

一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2),=,则:

(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是　　　　　　在I上恒成立; 

(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是　　　　　　在I上恒成立. 

课前检测

判断.

1.一次函数y=kx+b(k≠0)满足Δy=kΔx.(　　)

2.函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率=.(　　)

3.已知函数f(x)=-x2+x的图像上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+Δx,-2+Δy),则=(　　)

A.3 B.3Δx-(Δx)2

C.3-(Δx)2 D.3-Δx

新课导入　科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图思考下列问题:

问题1　在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),=一定大于零吗?

问题2　如果在区间[2,10]对应的曲线上任取不同两点C(x3,y3),D(x4,y4),=一定大于零吗?

　　合作　如下图所示,观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系,并总结出一般规律.

(1)

(2)

函数单调递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0,函数单调递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.

课堂探究

题型一　函数单调递增、递减充要条件的应用

例1　证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,+∞)上是增函数,并求出这个函数的最值.

引申　判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性,并求出相应的最值.

跟踪训练1　证明f(x)=是定义域上的增函数.

题型二　利用单调性解求参数范围

例2　(1)已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f的大小;

(2)已知函数f(x)=若f(x)在R上是减函数,求实数k的取值范围.

跟踪训练2　(1)函数f(x)=满足:对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C.[1,2] D.[1,+∞)

(2)已知g(x)是定义在[-2,1]上的减函数,且g(t-1)>g(1-3t),求t的取值范围.

题型三　实际应用

例3　某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足:R(x)=假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:

(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).

(2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

课堂练习

1.

向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为y=f(t),则以下函数图像中,可能是y=f(t)的图像的是(　　)

2.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,+∞)上单调递增,则实数k的取值范围是(　　)

A.(-∞,40) B.(-∞,40]

C.(40,+∞) D.[40,+∞)

3.已知函数f(x)=.

(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数;

(2)求x∈[0,3]时,函数f(x)的值域.

核心素养专练

A组

1.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0,则必有(　　)

A.函数f(x)先增后减

B.函数f(x)先减后增

C.函数f(x)是R上的增函数

D.函数f(x)是R上的减函数

2.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　)

A.0.41 B.3 C.4 D.4.1

3.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.R B.(-∞,-1]

C.[-1,+∞) D.⌀

4.已知函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对

5.已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上的值域为　　　　　. 

6.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是　　　　　. 

7.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,试指出哪一个厂治污效果较好?

B组

设函数f(x)=,其中a∈R.

(1)若a=1,函数f(x)的定义域为[0,3],求f(x)的最大值和最小值;

(2)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),求使函数f(x)在定义域内是减函数的a的取值范围.

参考答案

自主预习

　　略

课堂探究

题型一　函数单调递增、递减充要条件的应用

例1　证明:设x1≠x2,则

===x1+x2+2.

因此:当x1,x2∈(-∞,-1]时,有x1+x2<-2,从而<0,因此f(x)在(-∞,-1]上是减函数;

当x1,x2∈[-1,+∞)时,有x1+x2>-2,从而>0,因此f(x)在[-1,+∞)上是增函数.

由函数的单调性可知,函数没有最大值;而且,当x∈(-∞,-1]时,有f(x)≥f(-1),当x∈[-1,+∞)时,不等式也成立,因此f(-1)=-1是函数的最小值.

引申

用类似的方法可以证明,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性为:

(1)当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,函数没有最大值,但有最小值f=;

(2)当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,函数没有最小值,但有最大值f=.

跟踪训练1　证明:函数f(x)=的定义域为[0,+∞),设∀x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,则====>0,∴函数f(x)=在定义域[0,+∞)上是增函数.

题型二　利用单调性求参数范围

例2　解:(1)由a2-a+1=+≥,而函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

所以f(a2-a+1)≤f.

(2)若f(x)=在R上是减函数,

则解得k∈.

跟踪训练2　(1)C

(2)解:因为g(x)是定义在[-2,1]上的减函数,且g(t-1)>g(1-3t).

所以所以则0≤t<.

故t的取值范围为0≤t<.

题型三　实际应用

例3　解:(1)由题意得G(x)=2.8+x,

所以f(x)=R(x)-G(x)

=

(2)当x>5时,因为函数f(x)单调递减,

所以f(x)<f(5)=3.2(万元),

当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,

当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元,

所以当工厂生产4百台产品时,可使盈利最大为3.6万元.

课堂练习

1.D　2.B

3.(1)证明:设任意x1,x2∈(-1,+∞)且x1≠x2,

则===,

∵x1>-1,x2>-1,∴x1+1>0,x2+1>0,

∴<0,∴<0,

∴函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数.

(2)解:由(1)的证明知,函数f(x)在(-1,+∞)上是减函数.

∵[0,3]⊆(-1,+∞),∴函数f(x)在[0,3]上是减函数.

∴函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(0)=2,最小值是f(3)=.∴函数f(x)在[0,3]上的值域是.

核心素养专练

A组

1.C　2.D　3.B　4.A　5.[21,49]　6.

7.解:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),

但>,

即<,

所以,在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小.

所以乙厂治污效果较好.

B组

解:f(x)===a-.

(1)当a=1时,f(x)=1-,

设任意x1,x2∈[0,3],且x1≠x2,

则==.

又∵x1+1>0,x2+1>0,∴>0,

∴函数f(x)在[0,3]上是增函数.

∴f(x)max=f(3)=1-=,

f(x)min=f(0)=1-=-1.

(2)设任意x3,x4∈(0,+∞),且x3≠x4,

则x3+1>0,x4+1>0.

若使f(x)在(0,+∞)上是减函数,

则只要=<0,

又=,

∴当a+1<0,即a<-1时,有<0.

∴a的取值范围为(-∞,-1).