还剩5页未读，
继续阅读
人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第1课时学案
展开
这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第1课时学案，共8页。学案主要包含了利用图像求函数的单调区间，利用定义证明函数的单调性，单调性与最值等内容，欢迎下载使用。
3.1.2 函数的单调性
第1课时
学习目标
1.理解函数的单调性及其几何意义.
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.
3.理解函数的最大值和最小值的概念,会求一些简单函数的最值.
自主预习
阅读课本第95页~第97页“1.单调性的定义与证明”并完成下列问题.
(1)完成课本这一部分的填空题目.
(2)函数单调性的定义.
(3)思考课本第96页想一想,并完成尝试与发现.
(4)最大值、最小值.
课堂探究
问题探究
任务一:阅读课本第95页~第97页并完成下列问题
1.“情境与问题”中的问题.
2.单调性的定义.
3.单调性定义中“任意”二字能不能去掉.
4.能否说y=1x在定义域内是减函数?为什么?
5.最大值、最小值.
6.最值点是不是点?
任务二:函数单调性的简单应用
一、利用图像求函数的单调区间
例1 如图是定义在区间[-2,2]的函数y=f(x),则f(x)的单调递减区间是 .
【拓展练习】 函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为 .
要点归纳
图像法求函数单调区间的步骤:
二、利用定义证明函数的单调性
例2 下列函数中,在R上是增函数的是( )
A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1x
【拓展练习】证明函数f(x)=x-1x在(0,+∞)上是增函数.
【小结】
利用定义证明函数单调性的步骤:
三、单调性与最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
评价反馈
1.(多选题)下列函数中,在(0,2)上是减函数的是( )
A.y=1x B.y=2x-1
C.y=1-2x D.y=(2x-1)2
2.如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.(-1,0)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0),(1,+∞)
课后作业
课本第102页第1,4,5题
核心素养专练
1.给定函数①y=x;②y=log12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.(多选题)下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)在区间[-5,-3]上单调递增
B.f(x)在区间[1,4]上单调递增
C.f(x)在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.f(x)在区间[-5,5]上没有单调性
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题探究
任务一:略
任务二:一、利用图像求函数的单调区间
例1 解析:由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[-1,1].
答案:[-1,1]
【拓展练习】
解析:当x≥0时,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,开口向上,在(1,+∞)单调递增;
当x<0时,f(x)=-x2-2x,对称轴为x=-1,开口向下,在(-∞,-1)单调递增,
所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
答案:(-∞,-1)和(1,+∞)
要点归纳
1.作图:作出函数的图像;
2.结论:上升图像对应单调递增区间,下降图像对应单调递减区间.
二、利用定义证明函数的单调性
例2 B 解析:根据题意,依次分析选项:
对于A选项,y=|x|=x,x≥0,-x,x<0在R上不是增函数,不符合题意;
对于B选项,y=x,为正比例函数,在R上是增函数,符合题意;
对于C选项,y=x2,为二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;
对于D选项,y=1x,为反比例函数,在R上不是增函数,不符合题意.
【拓展练习】
证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1
因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+1x1x2>0,
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
【小结】
三、单调性与最值
例3 在[-1,6]上为增函数
这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
评价反馈
1.AC 2.D
课后作业
略
核心素养专练
1.B 2.ABD
学习目标
1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.
2.在理解函数单调性定义的基础上,会用单调性的定义证明简单函数的单调性,能利用单调性求简单函数的最值,提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.
(1)如果对 x1,x2∈I,当x1
如果函数y=f(x)在I上是增函数(或减函数),则称函数在I上具有单调性,当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间.
知识点三 函数的最大值与最小值
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为 ,最大值点和最小值点统称为 .
课前自测
判断.
1.函数f(x)的定义域为I,如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1,x2,当x1
3.函数f(x)=1x在(1,2]上无最大值,最小值为12,值域为12,1.( )
4.如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数.( )
课堂探究
阅读课本第95~96页回答以下几个问题(可小组讨论).
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
探究
问题1:观察下列函数图像,请你说说这些函数有什么变化趋势?
问题2:怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”?
问题3:如何用数学语言准确刻画函数y=f(x)在区间D上单调递增呢?
问题4:请你试着用数学语言定义函数y=f(x)在区间D上是单调递减的.
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
跟踪训练1
如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图像(包括端点),根据图像写出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 求证:函数f(x)=x+4x在区间(2,+∞)内为增函数.
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
引申 判断函数f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
课堂练习
1.函数y=f(x)的图像如图所示,其增区间是( )
A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]
C.[-3,1] D.[-3,4]
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=-1x B.y=x C.y=x2 D.y=1-x
3.判断函数f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的单调性,并求出这个函数的最值.
核心素养专练
A组
1.函数y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k<12 B.k>12 C.k>-12 D.k<-12
2.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=-x2+2 B.y=4x-1
C.y=x2+4x D.y=1x
3.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0,则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
4.(多项选择)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[2,3]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-3,3]上不单调
5.已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(1-m)
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)求证:f(x)在[3,5]上为增函数;
(3)求函数f(x)的值域.
B组
1.已知函数f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(4,16) B.[4,16]
C.[16,+∞) D.(-∞,4]∪[16,+∞)
2.已知函数f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,若f(x)在R上是减函数,则实数k的取值范围为 .
3.已知函数f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式;
(2)画出函数的图像;
(3)根据图像写出它的单调区间.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题:略
探究:略
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 解:y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.
跟踪训练1
解:y=f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数,在区间[-1,0],[1,2]上是增函数.y=g(x)的单调区间有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],
其中y=g(x)在区间[-3,-1.5],[1.5,3]上是减函数,在区间[-1.5,1.5]上是增函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 证明:任取x1,x2∈R且x1
从而f(x1)>f(x2).
因此函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1
由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.
所以x1x2>4,x1x2-4>0,
又由x1
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1
因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6).
从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
引申 f(x)无最小值,最大值为f(6)=23.
课堂练习
1.C 2.D
3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1
所以这个函数是增函数.因此当-2≤x≤7时,有f(-2)≤f(x)≤f(7),从而这个函数的最小值为f(-2)=-9,最大值为f(7)=36.
核心素养专练
1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.12
由f(2)=14,得a+4b=6,①
由f(3)=25,得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1,则函数解析式为f(x)=x-1x+2.
(2)任取x1,x2∈[3,5]且x1
∵3≤x1
∴f(x1)
则f(x)max=f(5)=47,f(x)min=f(3)=25.
∴函数的值域为25,47.
B组
1.D 2.-9100,0
3.(1)f(x)=x2-4|x|+3=x2-4x+3,x≥0,x2+4x+3,x<0.
(2)图像如图所示.
(3)单调增区间为[-2,0),[2,+∞),
单调减区间为(-∞,-2],[0,2].
3.1.2 函数的单调性
第1课时
学习目标
1.理解函数的单调性及其几何意义.
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.
3.理解函数的最大值和最小值的概念,会求一些简单函数的最值.
自主预习
阅读课本第95页~第97页“1.单调性的定义与证明”并完成下列问题.
(1)完成课本这一部分的填空题目.
(2)函数单调性的定义.
(3)思考课本第96页想一想,并完成尝试与发现.
(4)最大值、最小值.
课堂探究
问题探究
任务一:阅读课本第95页~第97页并完成下列问题
1.“情境与问题”中的问题.
2.单调性的定义.
3.单调性定义中“任意”二字能不能去掉.
4.能否说y=1x在定义域内是减函数?为什么?
5.最大值、最小值.
6.最值点是不是点?
任务二:函数单调性的简单应用
一、利用图像求函数的单调区间
例1 如图是定义在区间[-2,2]的函数y=f(x),则f(x)的单调递减区间是 .
【拓展练习】 函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为 .
要点归纳
图像法求函数单调区间的步骤:
二、利用定义证明函数的单调性
例2 下列函数中,在R上是增函数的是( )
A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1x
【拓展练习】证明函数f(x)=x-1x在(0,+∞)上是增函数.
【小结】
利用定义证明函数单调性的步骤:
三、单调性与最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.
评价反馈
1.(多选题)下列函数中,在(0,2)上是减函数的是( )
A.y=1x B.y=2x-1
C.y=1-2x D.y=(2x-1)2
2.如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.(-1,0)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0),(1,+∞)
课后作业
课本第102页第1,4,5题
核心素养专练
1.给定函数①y=x;②y=log12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.(多选题)下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.f(x)在区间[-5,-3]上单调递增
B.f(x)在区间[1,4]上单调递增
C.f(x)在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.f(x)在区间[-5,5]上没有单调性
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题探究
任务一:略
任务二:一、利用图像求函数的单调区间
例1 解析:由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[-1,1].
答案:[-1,1]
【拓展练习】
解析:当x≥0时,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,开口向上,在(1,+∞)单调递增;
当x<0时,f(x)=-x2-2x,对称轴为x=-1,开口向下,在(-∞,-1)单调递增,
所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
答案:(-∞,-1)和(1,+∞)
要点归纳
1.作图:作出函数的图像;
2.结论:上升图像对应单调递增区间,下降图像对应单调递减区间.
二、利用定义证明函数的单调性
例2 B 解析:根据题意,依次分析选项:
对于A选项,y=|x|=x,x≥0,-x,x<0在R上不是增函数,不符合题意;
对于B选项,y=x,为正比例函数,在R上是增函数,符合题意;
对于C选项,y=x2,为二次函数,在R上不是增函数,不符合题意;
对于D选项,y=1x,为反比例函数,在R上不是增函数,不符合题意.
【拓展练习】
证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1
因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+1x1x2>0,
又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
【小结】
三、单调性与最值
例3 在[-1,6]上为增函数
这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
评价反馈
1.AC 2.D
课后作业
略
核心素养专练
1.B 2.ABD
学习目标
1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.
2.在理解函数单调性定义的基础上,会用单调性的定义证明简单函数的单调性,能利用单调性求简单函数的最值,提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D.
(1)如果对 x1,x2∈I,当x1
如果函数y=f(x)在I上是增函数(或减函数),则称函数在I上具有单调性,当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间.
知识点三 函数的最大值与最小值
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对 x∈D,都有f(x) f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为 ,最大值点和最小值点统称为 .
课前自测
判断.
1.函数f(x)的定义域为I,如果定义域内某个区间D上存在两个自变量x1,x2,当x1
3.函数f(x)=1x在(1,2]上无最大值,最小值为12,值域为12,1.( )
4.如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都是增函数,则f(x)在区间[a,c]上是增函数.( )
课堂探究
阅读课本第95~96页回答以下几个问题(可小组讨论).
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?
探究
问题1:观察下列函数图像,请你说说这些函数有什么变化趋势?
问题2:怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”?
问题3:如何用数学语言准确刻画函数y=f(x)在区间D上单调递增呢?
问题4:请你试着用数学语言定义函数y=f(x)在区间D上是单调递减的.
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
跟踪训练1
如图,已知函数y=f(x),y=g(x)的图像(包括端点),根据图像写出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 求证:函数f(x)=x+4x在区间(2,+∞)内为增函数.
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
引申 判断函数f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的单调性,并求出这个函数的最值.
课堂练习
1.函数y=f(x)的图像如图所示,其增区间是( )
A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]
C.[-3,1] D.[-3,4]
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=-1x B.y=x C.y=x2 D.y=1-x
3.判断函数f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的单调性,并求出这个函数的最值.
核心素养专练
A组
1.函数y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k<12 B.k>12 C.k>-12 D.k<-12
2.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )
A.y=-x2+2 B.y=4x-1
C.y=x2+4x D.y=1x
3.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0,则必有( )
A.函数f(x)先增后减
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
4.(多项选择)如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法正确的( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[2,3]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-3,3]上不单调
5.已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(1-m)
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)求证:f(x)在[3,5]上为增函数;
(3)求函数f(x)的值域.
B组
1.已知函数f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是单调函数,则k的取值范围是( )
A.(4,16) B.[4,16]
C.[16,+∞) D.(-∞,4]∪[16,+∞)
2.已知函数f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,若f(x)在R上是减函数,则实数k的取值范围为 .
3.已知函数f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式;
(2)画出函数的图像;
(3)根据图像写出它的单调区间.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
问题:略
探究:略
题型一 利用图像判断函数的单调性
例1 解:y=f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.
跟踪训练1
解:y=f(x)的单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数,在区间[-1,0],[1,2]上是增函数.y=g(x)的单调区间有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],
其中y=g(x)在区间[-3,-1.5],[1.5,3]上是减函数,在区间[-1.5,1.5]上是增函数.
题型二 利用定义证明函数的单调性
例2 证明:任取x1,x2∈R且x1
从而f(x1)>f(x2).
因此函数f(x)=-2x在R上是减函数.
跟踪训练2 证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1
由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.
所以x1x2>4,x1x2-4>0,
又由x1
题型三 利用函数的单调性求最值
例3 解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1
因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6).
从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.
引申 f(x)无最小值,最大值为f(6)=23.
课堂练习
1.C 2.D
3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1
所以这个函数是增函数.因此当-2≤x≤7时,有f(-2)≤f(x)≤f(7),从而这个函数的最小值为f(-2)=-9,最大值为f(7)=36.
核心素养专练
1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.12
由f(2)=14,得a+4b=6,①
由f(3)=25,得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1,则函数解析式为f(x)=x-1x+2.
(2)任取x1,x2∈[3,5]且x1
∵3≤x1
∴f(x1)
则f(x)max=f(5)=47,f(x)min=f(3)=25.
∴函数的值域为25,47.
B组
1.D 2.-9100,0
3.(1)f(x)=x2-4|x|+3=x2-4x+3,x≥0,x2+4x+3,x<0.
(2)图像如图所示.
(3)单调增区间为[-2,0),[2,+∞),
单调减区间为(-∞,-2],[0,2].
相关学案
人教B版 (2019)3.1.2 函数的单调性学案设计： 这是一份人教B版 (2019)3.1.2 函数的单调性学案设计，共9页。
数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法第1课时学案及答案： 这是一份数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法第1课时学案及答案
高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时导学案及答案： 这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时导学案及答案
