高中数学人教B版 (2019)必修 第一册函数的单调性教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册函数的单调性教案，共6页。教案主要包含了情境导入，直线的斜率，平均变化率，例题讲解，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
很多人吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度如何描述这种现象呢？
我们知道气球的体积，则.当空气容量从0增加到1L时，气球半径增加了（dm），气球的膨胀率为（dm/L）.
当空气容量从1L增加到2L时，气球半径增加了（dm），气球的膨胀率为（dm/L）.
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小了.
二、直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在.
若记，相应的，则当时，直线的斜率可记为.
师：直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度.
教师指导学生阅读教材第98页“尝试与发现”上面的内容.
想一想：任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在吗？
师：任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.
想一想：下图中直线，的斜率的取值范围分别是多少？
教师引导学生思考、讨论.
如图，直线的斜率即为中与的比.图中直线的斜率大于0，直线的斜率小于0.
三、平均变化率
教师指导学生阅读教材第98页“尝试与发现”.
如图，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律.
教师总结：由图知，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0.
一般地，若是函数的定义域的子集，对任意，且，记，，
（即），则
（1）在上是增函数的充要条件是在上恒成立；
（2）在上是减函数的充要条件是在上恒成立.
一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.
利用上述结论证明函数在上是减函数.
证明：对任意，且，
有，所以在上是减函数.
想一想：平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
师：函数从到的平均变化率：
（1）定义式：.
（2）实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.
（3）意义：刻画函数值在区间上变化的快慢.
（4）平均变化率的几何意义：
设，是曲线上任意不同的两点，函数的平均变化率为割线的斜率，如图所示.
四、例题讲解
例1 求证：函数在区间和上都是减函数.
教师要求学生先学习教材第99页例3的证明过程，弄清基本步骤.特别要注意书写格式，用规范的符号.
证明：设，则.若，，则，此时，所以函数在上是减函数.
同理，函数在上也是减函数.
例2 判断一次函数的单调性.
通过例2，进一步掌握一次函数的图像与性质.
教师要求学生自己先书写解答过程，再讨论，最后与教材第99～100页的解法比较，找出不足，并修改.
解：设，那么.因此，一次函数的单调性取决于的符号：
当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数.
教师要求学生学习教材第100页“给容器倒水”的例子，想一想生活中自己给茶杯倒水的情况，与同学们讨论、验证答案.
例3 证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求这个函数的最值.
二次函数的性质是初中已经学习过的，通过例3让学生进一步熟悉、掌握二次函数的性质，让学生知道利用函数的单调性求函数的最值是一种常用方法，要求学生体会探索、归纳，体会数学发现的愉悦，并由学生总结求函数最值的一般步骤，培养学生的归纳能力.
教师出示证明过程.
证明：设，则.因此，当，时，有，从而，所以在上是减函数；当，时，有，从而，所以在上是增函数.
由函数的单调性可知，函数没有最大值，有最小值.
用类似的方法可以证明，二次函数的单调性为：
（1）当时，在上是减函数；在上是增函数，函数没有最大值，但有最小值；
（2）当时，在上是增函数；在上是减函数，函数没有最小值，但有最大值.
教师指导学生作图，观察二次函数的图像，验证上面的结论.
学生阅读、讨论教材第101～102页“拓展阅读”.
课堂练习：教材第102页练习A第5题.
教师小结：比较平均变化率的方法步骤：
（1）求出两不同点处的平均变化率；
（2）作差（作商），并对差式（商式）作合理变形，以便探讨差的符号（商与1的大小）；
（3）下结论.
2.平均变化率的大小可说明函数图像的陡峭程度.
五、布置作业
教材第102页练习A第6题；教材第103页练习B第5，6题.
板书设计
第2课时 函数的平均变化率
一、情境导入
二、直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在.
若记，相应的，则当时，直线的斜率可记为.
三、平均变化率
一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.
四、例题讲解
例1 求证：函数在区间和上都是减函数.
例2 判断一次函数的单调性.
例3 证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求这个函数的最值.