(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第14讲 阶段性检测 二（范围：二次函数、旋转、圆）（2份，原卷版+教师版）

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下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的.其中不是中心对称图形的是( )
【答案】答案为：B.
抛物线 y＝﹣(x﹣1)2﹣2 的顶点坐标是( )
A.(1，2) B.(﹣1，﹣2) C.(﹣1，2) D.(1，﹣2)
【答案】D.
方程x2﹣x﹣1=0的解的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.有一个实数根
【答案】A
已知y＝(m﹣2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A.﹣2 B.2 C.±2 D.0
【答案】A
已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( )
A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm
【答案】D.
在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( )
A.(－3，－6) B.(1，－4) C.(1，－6) D.(－3，－4)
【答案】答案为：C
⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为( )
A.1 cm B.7cm C.3 cm或4 cm D.1cm 或7cm
【答案】D
如图，在半径为eq \r(13)的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )
A.2eq \r(6) B.2eq \r(10) C.2eq \r(11) D.4eq \r(3)
【答案】C.
二、填空题
已知关于x的方程x2＋ax＋a﹣2=0的一根是1，则a= ．
【答案】答案为：0.5．
已知x1和x2分别为方程x2＋x﹣2=0的两个实数根，那么x1＋x2= ；x1•x2= .
【答案】答案为：﹣1；﹣2.
若点M(3，a﹣2)，N(b，a)关于原点对称，则a＋b= .
【答案】答案为：﹣2
如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .
【答案】答案为：x＜﹣1或x＞5.
如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 .
【答案】答案为：2eq \r(3).
如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E、F两点，连结EF交OB于点G.
则下列结论中正确的是 .
(1)EF＝eq \r(2)OE；
(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；
(3)BE＋BF＝eq \r(2)OA；
(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝eq \f(3,4).
【答案】答案为：(1) (2) (3).
三、作图题
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．

【答案】解：(1)线段A1B1如图所示；(2)线段A1B2如图所示；
(3)S△ABB2=4×4﹣eq \f(1,2)×2×2﹣eq \f(1,2)×2×4﹣eq \f(1,2)×2×4=6．
四、解答题
某体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【答案】解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意得
eq \f(1,2)x(x﹣1)=28，解得：x1=8，x2=﹣7(舍去).
答：应邀请8支球队参加比赛.
已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C。
(1)求抛物线的函数式；
(2)求抛物线的对称轴和C点的坐标。
【答案】解：(1)函数式为：y=x2＋2x.
(2)对称轴为直线x=﹣1，C(﹣1，﹣1)
如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2eq \r(3)，求PD的长.
【答案】解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.
∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2eq \r(3).
∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.∴BD＝AB＝2eq \r(3).
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°.
在Rt△PBD中，PD＝4.
已知圆O的直径AB＝12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D.
(1)如图1，当PD//AB时，求PD的长；
(2)如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长.
【答案】解：如图1，连接OD .
∵直径AB＝12∴OB＝OD＝6∵PD⊥OP∴∠DPO＝90°
∵PD∥AB∴∠DPO＋∠POB＝180°∴∠POB＝90°
又∵∠ABC＝30°，OB＝6∴OP＝2eq \r(3)，
∵在Rt△POD 中，PO2＋PD2＝OD2∴PD＝2eq \r(6).
(2)如图2，过点O 作OH⊥BC，垂足为H
∵OH⊥BC∴∠OHB＝∠OHP＝90°∵∠ABC＝30°，OB＝6∴OH＝3，BH＝3eq \r(3)，
∵在⊙O 中，OH⊥BC∴CH＝BH＝3eq \r(3).∵BP 平分∠OPD∴∠BPO＝eq \f(1,2)∠DPO＝45°，
∴PH＝3∴PC＝CH﹣PH＝3eq \r(3)﹣3．
二次函数y=ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，完成下列各题
(1)当x=3时，y=
(2)当x为何值时，y=0？
(3)①若自变量x的取值范围是0≤x≤5，求函数值y的取值范围；
②若函数值y为正数，则自变量x的取值范围.
【答案】解：(1)从表格看出，函数的对称轴为x=1，顶点为(1，﹣2)，
故x=3时，y=﹣1，故：答案是﹣1；
(2)把顶点坐标代入二次函数顶点式表达式得：y=a(x﹣1)2﹣2，
把点(﹣1，﹣1)代入上式得：﹣1=a(﹣1﹣1)2﹣2，解得：a=eq \f(1,4)，
则函数表达式为：y=eq \f(1,4)(x﹣1)2﹣2，令y=0，则x=1±2eq \r(2)；
(3)①当0≤x≤5，函数在顶点处取得最小值，y=﹣2，
当x=5时，函数取得最大值y=eq \f(1,4)(5﹣1)2﹣2=2，
即：函数值y的取值范围为：﹣2≤x≤2；
②若函数值y为正数，则x＜1﹣2eq \r(2)或x＞1＋2eq \r(2).
如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若CD＝6，AC＝8，则⊙O的半径为______，CE的长是______.
【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°
∴∠2＝90°﹣∠ACE＝∠A，
∵C是弧BD的中点，
∴弧BD＝弧CD，
∴∠1＝∠A(等弧所对的圆周角相等)，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF；
(2)解：∵C是弧BD的中点，CD＝6，
∴BC＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2＋BC2，
又∵BC＝CD，
∴AB2＝64＋36＝100，
∴AB＝10，
∴CE＝4.8，
故⊙O的半径为5，CE的长是4.8.