(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第16讲 切线长定理及三角形的内切圆+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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\l "_Tc3821" 【题型1 利用切线长定理求周长】 PAGEREF _Tc3821 \h 1
\l "_Tc24076" 【题型2 三角形内切圆中求角度】 PAGEREF _Tc24076 \h 3
\l "_Tc11948" 【题型3 三角形内切圆中求面积】 PAGEREF _Tc11948 \h 4
\l "_Tc17408" 【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 PAGEREF _Tc17408 \h 5
\l "_Tc27351" 【题型5 三角形内切圆中求半径】 PAGEREF _Tc27351 \h 7
\l "_Tc3209" 【题型6 三角形内切圆中求最值】 PAGEREF _Tc3209 \h 9
\l "_Tc17599" 【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 PAGEREF _Tc17599 \h 8
【知识点1 切线长定理及三角形的内切圆】
（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
（2）三角形内切圆
【题型1 利用切线长定理求周长】
【例1】如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为 ．
【变式1-1】如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．
【变式1-2】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．
（1）求∠P的度数；
（2）求△PDE的周长；
（3）求四边形DEMN的周长．
【题型2 三角形内切圆中求角度】
【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝ °，∠DEF＝ °．
【变式2-1】如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED.
（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．
【题型3 三角形内切圆中求面积】
【例3】如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
【变式3-1】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝22，则△ABE的面积为（ ）
A．22B．2C．2D．1
【变式3-2】如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（ ）
A．150πB．1503C．3003D．200
【题型4 三角形内切圆中求线段长度】
【例4】如图，已知△ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F，∠A＝60°，CB＝6cm，△ABC的周长为16cm，则DF的长等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是 ．
【变式4-2】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是 cm．
【题型5 三角形内切圆中求半径】
【例5】如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】若四边形ABCD有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S，各边长分别为a，b，c，d，则该圆的直径为（ ）
A．a+b+c+dSB．Sa+cC．c−dS(a+b)D．2Sa+b+c+d
【变式5-2】如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 ．
【题型6 外接圆和内切圆的综合运用】
【例6】如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知∠AOC＝120°，则∠OAC＝ °，∠B＝ °．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC的外接圆的半径为 cm，内切圆的半径为 cm．
【变式6-1】如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
【题型7 三角形内切圆中求最值】
【例7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是 ．
【变式7-1】设等边△ABC的内切圆半径为2，圆心为I．若点P满足PI＝1，则△ABC与△APC的面积之比的最大值为 ．
【变式7-2】已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．
（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；
（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．
课后巩固练习
1.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A.50° B.65° C.100° D.130°
2.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )
A.8 B.6 C.5 D.4
3.如图，四边形ABCD四边分别与⊙O相切，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD周长为( )
A.50 B.52 C.54 D.56
4.如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的大小为( )
A.114° B.122° C.123° D.132°
5.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点 D.三条高的交点
6.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，则⊙O的半径为 .
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为 ．
8.如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧(EDF)上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 .
9.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下的方法：将铁环放在水平桌面上，用一个锐角为300的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，若三角形、刻度尺均与圆相切(切点为B、P)，且测得PA＝5，则铁环的半径为_______cm(保留根号).
10.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为 .
11.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°.
求：(1)PA的长；(2)∠COD的度数.
12.如图，边长为4的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦.
(1)求△CDF的面积；
(2)求线段BE的长.
第16讲 切线长定理及三角形的内切圆 随堂检测
1.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A.65° B.130° C.50° D.100°
2.如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P＝60°，则∠AOB等于( )
A.50° B.60° C.70° D.70°
3.如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为( )
A.120° B.60° C.30° D.45°
4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（ ）
A．14B．20C．24D．30
5.如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）cm2
A．12B．24C．8D．6
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝________.
7.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为________.
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝ ．
9.设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R﹣r＝ ．
10.如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
11.如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积.
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，叫做三角形的内心
三角形的内心到三角形三边的距离相等