(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第03讲 二次函数与一元二次方程+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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【题型1 抛物线与x轴的交点情况】
【例1】抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-1】已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），则n的值为（ ）
A．﹣9B．﹣16C．﹣18D．﹣27
【变式1-2】已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9）B．（3，﹣9）C．（﹣3，9）D．（﹣3，﹣9）
【题型2 由二次函数解一元二次方程】
【例2】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根是 ．
【变式2-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 ．
【变式2-2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5B．7C．12D．﹣7
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型3 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例3】如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
【变式3-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是 ．
【变式3-2】代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的（ ）
A．−12＜x1＜0，32＜x2＜2B．﹣1＜x1＜−12，2＜x2＜52
C．−12＜x1＜0，2＜x2＜52D．﹣1＜x1＜−12，32＜x2＜2
【题型4 由二次函数的图象解不等式】
【例4】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1
【变式4-1】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
请求出当y＜0时x的取值范围 ．
【变式4-2】若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 ．
【变式4-3】如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（ ）
A．x≤1或x≥4B．1≤x≤4C．x≤1或x≥5D．1≤x≤5
【题型5 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例5】二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜tB．m＜s＜n＜tC．m＜s＜t＜nD．s＜m＜t＜n
【变式5-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜5＜x2B．x1＜﹣1＜x2＜5C．﹣1＜x1＜5＜x2D．﹣1＜x1＜x2＜5
【变式5-2】已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（ ）
A．p＜q＜m＜nB．p＜m＜n＜qC．m＜p＜q＜nD．m＜n＜p＜q
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．
（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【变式6-1】令a、b、c三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y=12x+t与函数y＝max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3个公共点，则t的值为 ．
课后巩固练习
1.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )
A.x＜﹣2 B.﹣2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4
2.二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
A.x1＝0，x2＝4 B.x1＝－2，x2＝6 C.x1＝eq \f(3,2)，x2＝eq \f(5,2) D.x1＝－4，x2＝0
3.对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是( )
A.它的图象与x轴有两个交点 B.方程x2－2mx＝3的两根之积为－3
C.它的图象的对称轴在y轴的右侧 D.x＜m时，y随x的增大而减小
4.如图，已知顶点为(﹣3，﹣6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(﹣1，﹣4).则下列结论中错误的是( )
A.b2＞4ac
B.ax2＋bx＋c≥﹣6
C.若点(﹣2，m)，(﹣5，n)在抛物线上，则m＞n
D.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1
5.若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则A，B的坐标为 .
6.若二次函数y＝x2＋6x＋k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为 .
7.抛物线y＝x2﹣4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .
8.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
那么关于x的方程ax2＋bx＋c﹣3＝0的根的情况是 ；
ax2＋bx＋c﹣4＝0的根的情况是__________；
ax2＋bx＋c﹣2＝0的根的情况是__________.
9.已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2＋a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(2)设点P(m，y1)，Q(4，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋2．
(1)抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．
第03讲 二次函数与一元二次方程 随堂检测
1.已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于( )
A.4 B.8 C.﹣4 D.16
2.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是( )
A.0＜x＜eq \f(1,2) B.0＜x＜1 C.eq \f(1,2)＜x＜1 D.－1＜x＜2
3.抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m取值范围是( )
A.m＜2 B.m＞2 C.0＜m≤2 D.m＜﹣2
4.若二次函数y=ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )
A.x＜－4或x＞2 B.－4≤x≤2 C.x≤－4或x≥2 D.－4＜x＜2
5.抛物线y=x2﹣(m+2)x+3(m﹣1)与x轴( )
A.一定有两个交点 B.只有一个交点
C.有两个或一个交点 D.没有交点
6.抛物线y=x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知二次函数y=﹣x2+ax﹣4图象最高点在x轴上，则该函数关系式为 .
8.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
则当y＞0时，x的取值范围是 .
10二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根之和为 .
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
12.已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
根的判别式
二次函数的图象
二次函数与x轴的交点坐标
一元二次方程根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
﹣1
−12
0
12
1
32
2
52
3
ax2+bx+c
﹣2
−14
1
74
2
74
1
−14
﹣2
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…