(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第18讲 暑假结课考试（范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆）（2份，原卷版+教师版）

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已知方程x2＋5x＋2m＝0的一个根是﹣1，则m等于( ).
A.0.5 B.﹣0.5 C.2 D.﹣2
【答案】C
下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
【答案】B
如图，⊙O直径为10，圆心O到弦AB的距离OM长为3，那么弦AB长是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
【答案】D
如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )

A.20° B.25° C.30° D.40°
【答案】答案为：A
将二次函数y＝x2﹣2x＋3化为y＝(x﹣h)2＋k的形式，结果为( )
A.y＝(x＋1)2＋4 B.y＝(x＋1)2＋2 C.y＝(x﹣1)2＋4 D.y＝(x﹣1)2＋2
【答案】D
二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A.x＜﹣1 B.x＞2 C.﹣1＜x＜2 D.x＜﹣1或x＞2
【答案】C
某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，则可卖出(350﹣10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( )
A.y＝﹣10x2﹣560x＋7 350 B.y＝﹣10x2＋560x﹣7 350
C.y＝﹣10x2＋350x D.y＝﹣10x2＋350x﹣7 350
【答案】B
如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°).若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A.68° B.20° C.28° D.22°
【答案】D
如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】B.
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A.eq \r(3) B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
【答案】B
如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，其中A(﹣2，0).将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2 024次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是( )
A.(1，eq \r(3)) B.(eq \r(3)，1) C.(1，﹣eq \r(3)) D.(﹣1，eq \r(3))
【答案】A
将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是( )
A.b＞8 B.b＞﹣8 C.b≥8 D.b≥﹣8
【答案】答案为：D.
二、填空题
抛物线y＝4x2﹣3x与y轴的交点坐标是__________.
【答案】答案为：(0，0)
在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm.
【答案】答案为：3cm
关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣eq \f(1,4)＝0有实数根，则a的取值范围为 .
【答案】答案为：a≥﹣1且a≠0.
将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.
【答案】答案为：12.5.
函数y＝x2＋2x＋4的最小值为 .
【答案】答案为：3.
如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4eq \r(2)，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为 .
【答案】答案为：eq \r(15).
解：连接OP、OQ，如图所示，
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，
∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，即OP＝＝4，∴PQ＝＝.
三、作图题
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣4，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，3).
(1)请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2.
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标.
【答案】解：(1)①△A1B1C1如图所示；②△A2B2C2如图所示；
(2)连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为(2，1).
四、解答题
已知二次函数的图象经过 (﹣1，3)、(1，3)、(2，6)三点，
(1)求二次函数的式；
(2)写出二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
【答案】解：(1)设二次函数的式为y＝ax2＋bx＋c，
把A(﹣1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得
解得
∴式为y＝x2＋2.
(2)对称轴为直线x(或y轴)；顶点坐标为(0，2)
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．
（1）旋转中心是点 ，旋转角度是 度；
（2）若四边形AECF的面积为16，DE＝3，求EF的长．
【答案】解：（1）∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置是绕点A顺时针旋转，
∴旋转中心是点A，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°∴旋转角度是90度．
故答案为：A；90；
（2）由旋转变换的性质可知：△ADE≌△ABF，
∴S四边形AECF＝S正方形ABCD＝16，BF＝DE＝3，
∴AD＝DC＝BC＝4，FC＝FB＋BC＝7，
∴EC＝DC﹣DE＝1，
∴EF＝＝5．
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长.
【答案】解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，
∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，
∴∠D＝45°
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，
由勾股定理，得OD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，
∴BD＝OD﹣OB＝2eq \r(2)﹣2
已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（1）如图①，若∠P＝35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；
又∵∠P＝35°，∴∠AB＝90°﹣35°＝55°.
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP＝90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直线CD是⊙O的切线.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2＋mx＋n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称，
∵点A在点B的左侧，且AB＝4，
∴A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，
把A(﹣5，0)、B(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋mx＋n，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5．
(2)根据题意，平移后的抛物线经过原点，
设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2＋bx，
当y＝0时，由﹣x2＋bx＝0得x1＝0，x2＝b，
∴C(b，0)，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)b，
当x＝eq \f(1,2)b时，y＝﹣(eq \f(1,2)b)2＋eq \f(1,2)b2＝eq \f(1,4)b2，∴P(eq \f(1,2)b，eq \f(1,4)b2)；
如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD，
∵△OCP是等腰直角三角形，∴∠OPC＝90°，
∴PD＝eq \f(1,2)OC＝OD，∴eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,2)b，解得b1＝2，b2＝0(不符合题意，舍去)，
∴P(1，1)．