(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第15讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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\l "_Tc12366" 【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】 PAGEREF _Tc12366 \h 2
\l "_Tc4998" 【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】 PAGEREF _Tc4998 \h 4
\l "_Tc17339" 【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 PAGEREF _Tc17339 \h 6
\l "_Tc7539" 【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】 PAGEREF _Tc7539 \h 9
\l "_Tc10609" 【题型5 定义法判断切线】 PAGEREF _Tc10609 \h 13
\l "_Tc29043" 【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】 PAGEREF _Tc29043 \h 15
\l "_Tc28461" 【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】 PAGEREF _Tc28461 \h 19
\l "_Tc26544" 【题型8 利用切线的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc26544 \h 23
\l "_Tc4167" 【题型9 利用切线的性质求角度】 PAGEREF _Tc4167 \h 27
\l "_Tc27282" 【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc27282 \h 30
【知识点1 直线与圆的位置关系】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，线段OA＝10cm，线段OB＝6cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y=14x2−1的图象上，以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．三种情况均有可能
【分析】设P（t，14t2﹣1），利用两点间的距离公式计算出OP=14t2+1，再计算出P点到直线y＝﹣2的距离为14t2+1，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可得到圆与直线y＝﹣2相切．
【解答】解：设P（t，14t2﹣1），∴OP=t2+(14t2−1)2=(14t2+1)2=14t2+1，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），∴P点在直线y＝﹣2的上方，∴P点到直线y＝﹣2的距离为14t2﹣1﹣（﹣2）=14t2+1，∴P点到直线y＝﹣2的距离等于圆的半径，∴以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是相切．故选：B．
【变式1-2】如图，⊙O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【分析】利用直线与圆的位置的判定方法进行判断．
【解答】解：∵直线l1与⊙O相切，∴圆心O到一条直线l1的距离为5，∵直线l2与⊙O相离，∴圆心O到一条直线l2的距离大于5，∵直线l3与l4与⊙O相交，∴圆心O到一条直线l3和直线l4的距离都小于5，而圆心O到直线l3的距离较小，∴圆心O到一条直线的距离为2，这条直线可能是直线l3．故选：C．
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤125 B．125≤r≤3 C．125≤r≤4 D．3≤r≤4
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r=125，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴125≤r≤4．故选：C．
【变式2-1】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜22 B．﹣42≤b≤42 C．﹣22＜b＜22 D．﹣42＜b＜42
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是B（0，b），
当y＝0时，x＝b，则与y轴的交点是A（b，0），则OA＝OB＝b，即△OAB是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB=OA2+OB2=b2+b2=2b，连接圆心O和切点C，则OC＝4，OC⊥AB，
∵S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，∴4=OA⋅OBAB=b⋅b2b，则b＝42；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣42；
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣42＜b＜42．故选：D．
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜边上的高为：AB⋅ACBC=4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B．
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
（1）当r＝ 2.4 时，⊙C与边AB相切；
（2）当r满足 3＜r≤4或r＝2.4 时，⊙C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
【分析】（1）当⊙C与边AB相切时，则d＝r，由此求出r的值即可；
（2）根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案；（3）随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数由0个、1个、2个三种情况．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，如图1，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝2.4，故答案为：r＝2.4．
（2）①当直线与圆相切时，即d＝r＝2.4，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
②当直线与圆如图所示也可以有一个交点，如图2，∴3＜r≤4，故答案为：3＜r≤4或r＝2.4；
（3）①如图3，当0≤r＜2.4时，圆C与边AB有0个交点；
②如图1，当r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
③如图4，当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点；
④如图2，当3＜r≤4时，圆C与边AB有1个交点；
⑤如图5，当r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
综上所述，当0≤r＜2.4或r＞4时，圆C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，圆C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，圆C与边AB有2个交点．

【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定： = 1 \* GB3 ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
= 2 \* GB3 ②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
= 3 \* GB3 ③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型4 定义法判断切线】
【例4】下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【分析】根据选项举出反例图形即可判断A、C、D；根据切线的判定即可判断B．
【解答】解：切线的判定定理有：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，②与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，
A、如图EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
B、与圆心的距离等于该圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、如图，EF⊥半径OA，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；
D、如上图，EF⊙O有公共点，但EF不是⊙O的切线，故本选项错误；故选：B．
【变式4-1】下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．
【变式4-2】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．
【题型5 切线的判定（连半径证垂直）】
【例5】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是⊙O的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）连接AO并延长交BC于F，根据垂径定理的推论得到AF⊥BC，根据平行线的性质得到AF⊥AE，根据切线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°；
（2）证明：连接AO并延长交BC于F，∵AB＝AC，∴AB=AC，∴AF⊥BC，∴AF⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线．
【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．求证：BC是圆O的切线．
【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠CAD＝∠ODA，根据平行线的判定得出OD∥AC，求出OD⊥BC，再根据切线的判定推出即可．
【解答】证明：连接OD，
∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC，∵OD过圆心O，∴BC是圆O的切线．
【变式5-2】如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是⊙O的切线．
【分析】连接OC，根据线段中点的定义得到OE＝EP，求得OE＝EC＝EP，得到∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连接OC，∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，∴∠ECO+∠ECP＝90°，∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
【题型6 切线的判定（作垂直证半径）】
【例6】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．
【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF，∴AC与⊙D相切；
（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．
∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．
【变式6-2】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论： = 1 \* GB3 ①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
= 2 \* GB3 ②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型7 利用切线的性质求角度】
【例7】已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP为x，利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接BO，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP＝65°，∴∠APO＝90°﹣65°＝25°，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∠AOP＝∠BPO+∠C，
∴∠C＝∠AOP﹣∠BPO＝65°﹣25°＝40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP＝x，∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠BPO＝x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝90°﹣x，∠BOP＝90°﹣∠BPO＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠BOP＝180°﹣2x，∴∠OCB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2x，
∵OC∥BD，∴∠DBP＝∠C＝90°﹣2x，∴∠OBD＝2x，
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝2x，∵∠OBD+∠ODB+∠DOB＝180°，∴x＝30°，
∴∠C＝90°﹣2x＝30°．
【变式7-1】已知BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为A，AD交CB的延长线于点D，连接AB，AO．
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是⊙O上一点，求∠E的大小．
【分析】（Ⅰ）先由切线和直径得出直角，再用同角的余角相等即可；
（Ⅱ）由等腰三角形的性质和圆的性质直接先判断出∠ABC＝2∠C，即可求出∠C．
【解答】解：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴DA⊥AO，∴∠DAO＝90°，∴∠DAB+∠BAO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠DAB，
（Ⅱ）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C，∵AD＝AC，∴∠D＝∠C，∴∠OAC＝∠D，
∵∠OAC＝∠DAB，∴∠DAB＝∠D，∵∠ABC＝∠D+∠DAB，∴∠ABC＝2∠D，
∵∠D＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，
∴2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠E＝∠C＝30°
【题型8 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例8】如图，直线y=34x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（1，0），直线AB的解析式为y=34x+3，∴直线CH的解析式为y=−43x+43，
由 y=−43x+43y=34x+3解得x=−45y=125，∴H（−45，125），∴CH=(1+45)2+(125)2=3，
∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=12×5×2＝5，故选：A．
【变式8-1】如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 21 ．
【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵l⊥PA，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP=OA2−PA2=21，故答案为：7，21．
【变式8-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，∵BC＝12，∴QB=BC2+QC2=13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．
课后巩固练习
1.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
【答案】A.
2.圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则( )
A.当d＝8cm时，直线与圆相交 B.当d＝4.5cm时，直线与圆相离
C.当d＝6.5cm时，直线与圆相切 D.当d＝13cm时，直线与圆相切
【答案】C.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB＝10cm，以C为圆心，以9cm长为直径的⊙C与直线AB的位置关系为( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.相离或相交
【答案】B.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3cm，AB＝4cm，若以点C为圆心，以2cm为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【答案】C.
5.如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P＝20°，则∠A的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
【答案】B.
6.如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(\r(5),2) D.1
【答案】B.
7.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O位置关系是 .
【答案】答案为：相离.
8.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2﹣4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________.
【答案】答案为：4.
9.如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分面积是______.(结果保留π)
【答案】答案为：16π.
10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ .
【答案】答案为：50°.
11.如图，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若BE＝2，BD＝4，求AC的长.
【答案】证明：(1)连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠2＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠1，
∴∠1＝∠2；
(2)设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
在Rt△OBD中，r2＋42＝(r＋2)2，解得r＝3，
即⊙O的半径为3.
12.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OA并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
【答案】证明：(1)连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA＝OB，∴PO平分∠APC.
(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.
∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC＝eq \f(1,2)∠APC＝eq \f(1,2)×60°＝30°.
∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.
又OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形.
∴∠OBD＝60°.
∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°.
∴∠DBP＝∠C.
∴DB∥AC.
第15讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质 随堂检测
1.下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有一个．
其中不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
【解答】解：（1）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题错误．
（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，原命题正确．
（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线，正确．
（4）和三角形三边所在直线都相切的圆有且只有四个，原命题错误．故选：A．
2.已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交 B．直线l与⊙O相切
C．直线l与⊙O相离 D．无法确定
【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．
3.⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
4.已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A．
5.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5
【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；故选：D．
6.一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【分析】根据当圆的半径r＞圆心到直线的距离d时，直线与圆相交，即可得出直线l和这个圆的公共点的个数．
【解答】解：∵圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，∴r＞d，∴直线与圆相交，
∴这条直线和这个圆的公共点的个数为2．故选：C．
7.如图，△ACD内接于⊙O，AB是⊙O的切线，∠C＝45°，∠B＝30°．AD＝4，则AB长为（ ）
A．4 B．22 C．23 D．26
【分析】如图，连接OA、OD，构造等腰直角△AOD和直角△AOB．首先利用勾股定理求得OA的长度，然后通过解直角△AOB求得边AB的长度．
【解答】解：如图，连接OA、OD，∵∠C＝45°．∴∠AOD＝2∠C＝90°．
又∵OA＝OD，AD＝4，∴AD2＝2OA2＝16，则OA＝22．
又∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°．∵∠B＝30°，OA＝22，∴AB=3OA＝26．故选：D．
8.如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10．若∠A+∠C＝90°，则⊙O的半径是 4 ．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC＝90°，根据正方形的性质得到BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEB是矩形，
∵OB＝OD，∴四边形ODEB是正方形，∴BE＝DE＝OB，设⊙O的半径是r，
∴AE＝r+2，CE＝r+4，∵AE2+CE2＝AC2，∴（r+2）2+（r+4）2＝102，解得：r＝4（负值舍去），
∴⊙O的半径是4，故答案为：4．
9.PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 55°或125° ．
【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
当点C在劣弧AB上，则∠ACB=12∠AOB＝55°，
当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．则∠ACB的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°．
10.点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 13 ．
【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA=OA2+OP2=4+OP2，当OP最小时，PA取最小值，由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为3，∴PA的最小值为：4+32=13，故答案为：13．
11.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长；
（2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，则∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根据垂径定理得AD＝BD，所以AB＝23；
（2）由（1）∠BOC＝60°，则△OCB为等边三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，则∠CBP＝∠P，可计算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根据切线的判定定理得PB是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，
∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA=12×2＝1，∴AD=3OD=3，
又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；
（2）证明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，
∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中点，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，
而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，
∴PB是⊙O的切线．
12.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．
【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE＝OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF＝OE＝OA，即可判定CD是⊙O的切线；
（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA＝r，可得OE＝EC＝r，由勾股定理求得OC=2r，则可得方程r+2r＝102，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．
∵BC切⊙O于点E，∴OE⊥BC，OE＝OA，
又∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD，∴OF＝OE＝OA，
即：CD是⊙O的切线．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°，∴AC=AB2+BC2=102，
∵OE⊥BC，∴OE＝EC，设OA＝r，则OE＝EC＝r，∴OC=OE2+EC2=2r，
∵OA+OC＝AC，∴r+2r＝102，解得：r＝20﹣102．
∴⊙O的半径为：20﹣102．
直线与圆的位置关系
设的半径为，圆心到直线的距离为
则有：
相交：直线和圆有两个公共点
直线和相交
相切：直线和圆只有一个公共点
直线和相切
相离：直线和圆没有公共点
直线和相离