(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第08讲 阶段性检测 一（范围：一元二次方程、二次函数、旋转）（2份，原卷版+教师版）

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一．选择题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．
2．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．（x+2）2＝0 B．x2+3＝0 C．x2+2x﹣17＝0 D．x2+x+5＝0
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其大于零的选项即可得出结论．
【解答】解：A、原方程可变形为x2+4x+4＝0，∵Δ＝42﹣4×1×4＝0，
∴一元二次方程（x+2）2＝0有两个相等的实数根；
B、∵Δ＝02﹣4×1×3＝﹣12＜0，∴一元二次方程x2+3＝0没有实数根；
C、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣17）＝72＞0，∴一元二次方程x2+2x﹣17＝0有两个不相等的实数根；
D、∵Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，∴一元二次方程x2+x+5＝0没有实数根．故选：C．
3．将函数y＝x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣5x+6的图象，则a的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把两个函数都化为顶点式，按照“左加右减，上加下减”的规律，则可求出a的值．
【解答】解：y＝x2+x＝（x+）2﹣，∴顶点的横坐标为：﹣；y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，
∴顶点的横坐标为：；∴a＝﹣（﹣）＝3．故选：C．
4．小亮根据取x的值为：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5时，代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的解（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5
【分析】由表格可发现y的值﹣0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．故选：A．
5．已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【分析】把（﹣4，y1），（2，y2）分别代入抛物线y＝x2﹣1求出y1、y2，再比较得出答案．
【解答】解：把（﹣4，y1），（2，y2）分别代入抛物线y＝x2﹣1得，y1＝16﹣1＝15，y2＝4﹣1＝3，∴y1＞y2，故选：B．
6．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n的值可能为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球运动的时间为6s；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．
【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，∴④正确．综上，正确的有②③④．故选：C．
8．在中秋活动中，参加活动的同学每两人之间互赠礼物，所有参加活动的同学共赠送了72件礼物，则参加活动的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【分析】设参加活动的学生人数为x人，则每个学生需送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物72件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设参加活动的学生人数为x人，则每个学生需送出（x﹣1）件礼物，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故选：B．
9．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（2，﹣1） C．（1，2） D．（﹣2，1）
【分析】过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，根据垂直定义可得∠BDO＝∠ACO＝90°，从而可得∠OAC+∠AOC＝90°，再利用旋转的性质可得OA＝OB，∠AOB＝90°，然后利用平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，从而根据同角的余角相等可得∠OAC＝∠BOD，进而可证△AOC≌△OBD，最后利用全等三角形的性质可得OC＝BD＝1，AC＝OD＝2，即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∴∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，∵点A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，
由旋转得：OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠AOB＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝1，AC＝OD＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，1），故选：D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac≤b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④⑤
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用对称轴的位置得到0＜﹣＜1，可对对②进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对③进行判断；利用x＝1时，y＜0可对④进行判断；利用二次函数的性质对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以①错误；∵0＜﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，所以②正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以③错误；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以④正确；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以⑤错误．故选：B．
二．填空题
11．）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的一个根为x＝2，另一个根为 1 ．
【分析】方程化为一般式得到x2﹣3x+2＝0，设方程的另一个解为t，根据根与系数的关系得到2t＝2，然后求出t即可．
【解答】解：方程整理为x2﹣3x+2＝0，设方程的另一个解为t，则2t＝2，解得t＝1，即方程另一个解为1．
故答案为1．
12．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，再解方程即可得到a、b的值，进而得到答案．
【解答】解：根据题意得：a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，解得：a＝﹣1，b＝0．则a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．
13．抛物线y＝x2﹣x﹣1与y轴的交点的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】通过计算自变量为0对应的函数值可得到抛物线y＝x2﹣x﹣1与y轴交点的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣x﹣1＝﹣1，所以抛物线y＝x2﹣x﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．
故答案为（0，﹣1）．
14．已知α，β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则3α3﹣10β2＝ ﹣109 ．
【分析】根据方程根的定义得到α2+3α﹣1＝0，β2+3β﹣1＝0，即可得到α3＝﹣3α2+α＝10α﹣3，然后根据根与系数的关系即可求得3α3﹣10β2的值．
【解答】解：∵α，β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴α2+3α﹣1＝0，β2+3β﹣1＝0，α+β＝﹣3，∴α2＝﹣3a+1，β2＝﹣3β+1，∴α3＝﹣3α2+α＝﹣3（﹣3α+1）+α＝9α﹣3+2α＝10α﹣3，则3α3﹣10β2＝3（10α﹣3）﹣10（﹣3β+1）＝30α﹣9+30β﹣10＝30（α+β）﹣19＝﹣109，故答案为：﹣109．
15．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则弧AB的长为 1.5π ．
【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：的长＝＝1.5π．故答案为：1.5π．
三．解答题
16．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x＝0 （2）x2﹣4x﹣1＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣3x＝0，x（2x﹣3）＝0，∴x1＝0，x2＝；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．
17．（9分）已知关于x的方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：当k＝0时，方程变为一元一次方程4x﹣2＝0，此时方程有实数根，
当K≠0时，
∵关于x的方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：16+8k≥0，解得：k≥﹣2，∴K的取值范围为k≥﹣2．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．
（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；
（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？
【分析】（1）首先根据题意，表示PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，再根据四边形APQC的面积为S＝Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积，用t表示四边形的面积；
（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，得PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S＝﹣＝6﹣t（3﹣t）＝t2﹣3t+6；
（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2），
∵a＝1，∴S＝﹣＝时，S有最小值，S＝，
∴当t为cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为cm2．
19．（9分）下列三幅图中的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．
（1）图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是 中心 （填“轴”或“中心”）对称图形；
（2）将“弦图”中的一个直角三角形作为基本图形，通过你所学过的图形变换知识，按下列要求画图：
①在图2中画出Rt△ABC向右平移4格后得到的△DEF；
②在图3中画出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A'B'C．
【分析】（1）直接利用中心对称图形的定义得出答案；
（2）①直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）图1中“弦图”的四个直角三角形组成的图形（阴影部分）是中心对称图形；
故答案为：中心；
（2）①如图2所示：△DEF即为所求；②如图3所示：△A'B'C即为所求．
．
20．为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的部分数据如下：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）设每月的利润为w（万元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可得到结论；
（2）根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式；
（3）根据产品利润率不得高于50%且成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【解答】解：（1）设销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
把（20，60），（30，40）代入y＝kx+b得，解得：，
∴每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣2x+100；
（2）由题意得，w＝y（x﹣18）＝（﹣2x+100）（x﹣18）＝﹣2x2+136x﹣1800；
（3）∵销售利润率不能高于50%，则x≤（1+50%）×18＝27，
∵w＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，∴x＝27时，w最大为：414万元．
当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．
21．某校为进一步打造“空中花园”，优化育人环境，增添校园绿色文化，计划到一家花卉种植基地采购甲、乙两种花卉共50盆，其中甲种花卉的数量不超过30盆，且不少于10盆．据了解，甲、乙两种花卉的原价分别是80元/盆、56元/盆．种植基地负责人为了支持学校建设，提供以下优惠：购买几盆甲种花卉，甲种花卉每盆就降几元，乙种花卉按原价购买．设该校购买甲种花卉x盆，请回答以下问题：
（1）若该校采购甲、乙两种花卉共花费2880元，求该校分别购买甲、乙两种花卉各多少盆？
（2）设购买甲、乙两种花卉共花费w元，求w与x的函数关系式；
（3）请预计本次采购该校最少准备多少元，最多准备多少元？
【分析】（1）根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质和x的取值范围，可以得到w的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，（80﹣x）x+56（50﹣x）＝2880，解得x1＝20，x2＝4（不符合题意，舍去），
∴50﹣x＝30，答：该校分别购买甲、乙两种花卉20盆、30盆；
（2）由题意可得，w＝（80﹣x）x+56（50﹣x）＝﹣x2+24x+2800，即w与x的函数关系式是w＝﹣x2+24x+2800；
（3）由（2）知：w＝﹣x2+24x+2800＝﹣（x﹣12）2+2944，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝12，
∵10≤x≤30，∴当x＝12时，w取得最大值2944，当x＝30时，w取得最小值2620，
答：预计本次采购该校最少准备2620元，最多准备2944元．
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，即△PAE面积S的最大值是.
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x2+12x﹣15
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
5.25
销售单价x（元/件）
…
20
25
30
35
…
每月销售量y（万件）
…
60
50
40
30
…