(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第01讲 待定系数法求二次函数的解析式+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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【例1】如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：，解得：
即n的值为1．
【变式1-1】已知一个二次函数的图象经过点．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）把代入二次函数解析式即可求出b的值；
（2）根据轴对称的性质可得抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴把点代入得，解得：；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为，
∵抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴所得抛物线解析式为，即．
【变式1-2】已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为(2)3
【分析】（1）将代入表达式，进行计算求出的值即可得到解析式，再根据求顶点坐标的公式进行求解即可；
（2）由对称性可得到点的坐标，从而得到的长度，再由可得到的长度，最后根据对称性即可求出点的横坐标，代入表达式即可求出纵坐标，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入表达式，得：，解得：，
函数表达式为，当时，，
顶点坐标为；
（2）解：，对称轴为直线，由对称性可知，，
，∴，
点在点左侧，由对称性可得，点的横坐标为：，
当时，，．
【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】
【例2】如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，∴解得：，，

如图，当时，∴．
【变式2-1】如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：当时，则，解得或，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
当时，解得，即 ；
当时，解得或，即或；
综上所述，点P的坐标为或或．
【变式2-2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点，代入
得：，解得，则该抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
当时，，即，∵P为的中点，且，∴即
∴，
故答案为：．
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】
【例3】已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，y的取值范围是______．
(3)将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据（－1，0），（1，0）两点可得顶点坐标为（0，2），设顶点式代入点坐标即可；
（2）求出对称轴，判断出对称轴在内，故在对称轴处取最大值，端点处取最小值；
（3）图像沿直线x＝1翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得图像顶点坐标为（0，2），设二次函数的表达式为．
将（1，0）代入，求得，∴．
（2）解：对称轴为轴，且开口向下
当时，有最大值2（能取到）当时，有最小值（取不到）
y的取值范围是：
（3）解：顶点坐标变为所以表达式为：
（或，）
【变式3-1】已知抛物线经过点，、，、，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，当抛物线与直线交于点，根据抛物线的开口向下，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）把，、，、，代入二次函数解析式，可得：
，解得．所以抛物线的解析式为：；
（2）解：由，当时，解得：
∴当抛物线与直线交于点，根据二次函数的图象可得，时，．
【变式3-2】如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
【答案】(1)；(2)的最大面积为，
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
【详解】（1）解：将点代入解析式得：
，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
∵，∴，
设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：

∴，∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，，∴
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】
【例4】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，把代入得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：，∴点D的坐标为．
（2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，
把代入得：，∴，∴，
设所在直线为，
把，代入得：，解得： ，
∴所在直线的表达式为：为，
把代入得：，解得：，
∴，．

【变式4-1】抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
【答案】(1)；(2)，；(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线，可设抛物线的表达式为，
将点，点代入，得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）由（1）知抛物线表达式为，
令，解得或，∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，∴，，∴，
∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为，∴
∵，∴，解得或，
∴当时，，当时，，
∴满足条件的点P有两个，分别为，；
（3）如解图，设直线AC的解析式为，

将点，代入，得，解得，∴直线AC的解析式为，
由于点Q在AC上，可设点，则点，其中，
∴∴当时，DQ长度有最大值．
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】
【例5】已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【答案】(1)；(2)1或3
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，∴可设该抛物线解析式为．
∵抛物线过点，∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）对于，令，则，
∴，解得：，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．
故答案为：1或3．
【变式5-1】已知二次函数的图像过点，且当时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意可知二次函数的顶点坐标为，则可把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵当时，函数有最小值3，∴可设二次函数解析式为，
把代入函数解析式可得．∴
∴二次函数的解析式为：，即．
【变式5-2】如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
【答案】(1)；(2)①；②3
【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】（1）解：设函数的解析式为，将代入解析式，解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：①二次函数的图象经过点、顶点坐标为，
对称轴为直线，与x轴的另一个交点的坐标为，
当函数值时，；
②在中，令，则，当时，由图象可知：y随x的增大而减小，
故当时，函数的最大值为3．
【变式5-3】已知二次函数的图像经过、、三点．
(1)若点为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式；
(2)若该函数图像的对称轴为直线，求的值；
【答案】(1)；(2)或；
【分析】（1）利用顶点公式设解析式后代入另一已知点即可求出；
（2）利用对称轴设解析式为顶点式，代入两个已知点求出解析式，再代入点C即可求出m；
【详解】（1）解：顶点， 设解析式为，代入点得：，
，二次函数的表达式为；
（2）对称轴为直线，设解析式为，代入点、得：
，解得，二次函数的表达式为；
代入得：，解得：或；
【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】
【例6】已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【答案】(1)；(2)顶点坐标为；对称轴为直线
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【详解】（1）设将代入，则∴
（2）∵，∴顶点坐标为；对称轴为直线．
【变式6-1】根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线经过点三点．
(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．
(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．
【答案】(1)x；(2)；(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【详解】（1）解：设，把代入得：，解得：，
则抛物线的解析式为x；
（2）解：根据题意可知：，解得，则二次函数的解析式为；
（3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，
当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，所以抛物线解析式为．
二次函数解析式求法 课后巩固练习
已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C。
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求抛物线的对称轴和C点的坐标。
已知一抛物线经过点A(﹣1，0)，B(0，﹣3)，且抛物线对称轴为x=2，求抛物线的解析式.
抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣1)，且与y轴交点的纵坐标为﹣3，求二次函数的解析式.
已知二次函数的顶点坐标为(2，﹣2)，且其图象经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标.
已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是直线x=﹣1，且经过点(2，﹣3)，求这个二次函数的表达式.
已知二次函数的图象以A(﹣1，4)为顶点，且过点B(2，﹣5).
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象与坐标轴的交点坐标；
已知二次函数y=(m﹣2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0，5).
(1)求m值，并写出二次函数的解析式.
(2)求y的最小值.
已知y＝x2＋bx＋c图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式
为y＝x2﹣2x﹣3.
(1)b＝________，c＝________；
(2)求原函数图象的顶点坐标；
(3)求两个图象顶点之间的距离.
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点C和点D的坐标；
(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求点P的坐标.
\s 0 答案
解：(1)函数解析式为：y=x2+2x.
(2)对称轴为直线x=﹣1，C(﹣1，﹣1)
解：∵抛物线的对称轴为x=2，∴设抛物线的解析式为：y=a(x﹣2)2+h，
将(0，﹣3)和(﹣1，0)代入得：，解得：，
∴抛物线线的解析式为y=eq \f(3,5)(x﹣2)2﹣5eq \f(2,5).
解：∵抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣1)，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2﹣1，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴﹣3=a(0+1)2﹣1，解得a=﹣2.
∴抛物线的解析式是y=﹣2(x+1)2﹣1，即y=﹣2x2﹣4x﹣3.
解：二次函数的解析式为y=3(x﹣2)2﹣2，
当x=0时，y=3×4﹣2=10，函数图象与y轴的交点坐标(0，10).
解：根据题意，得：
，解得，所求函数表达式为y=﹣x2﹣2x+5.
解：(1)y=-x2-2x+3；
(2)与y轴交点(0，3)，与x轴交点(﹣3，0)、(1，0)；
解：(1)把(0，5)代入y=(m﹣2)x2+(m+3)x+m+2得m+2=5，解得m=3，
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
(2)y=x2+6x+5=(x+3)2﹣4，所以当x=﹣3时，y的值最小，最小值为﹣4.
解：(1)2；0
(2)原函数的解析式为y＝x2＋2x＝(x＋1)2﹣1.
∴其图象的顶点坐标为(﹣1，﹣1).
(3)原图象的顶点为(﹣1，﹣1)，新图象的顶点为(1，﹣4).
由勾股定理易得两个顶点之间的距离为eq \r(13).
解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1－b＋c＝0，,－9＋3b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3.))
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.
(2)∵当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为(0，3).
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x2﹣2x＋1)＋4＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴点D的坐标为(1，4).
(3)设点P(x，y)，则x＞0，y＞0，
∵S△COE＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2)，S△ABP＝eq \f(1,2)×4y＝2y，S△ABP＝4S△COE，
∴2y＝4×eq \f(3,2)，
∴y＝3.
∴﹣x2＋2x＋3＝3，解得x＝2或x＝0(不合题意，舍去).
∴点P的坐标为(2，3).
第01讲 待定系数法求二次函数的解析式 随堂检测
1.已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 得 解得，
所以此函数的解析式为
（2）解：把代入得，解得 或．
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当时，求自变量的取值范围；
【答案】(1)；(2)或；
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）令，解方程求得的坐标，进而结合图象即可求解；
【详解】（1）解：将和代入
得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）由(1)可知抛物线的解析式为，
令，则，得，，，，
结合函数图象可得，当时，自变量的取值范围为或；
3.如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；
【答案】(1)，顶点坐标；(2)或；(3)或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
【详解】（1）∵抛物线过点,且对称轴为直线，
∴∴∴；
（2）由（1）知，令得，，∴∴
令得∴∴∴
∴当直线过点C时，直线的表达式为：，该直线恰好过点B，
观察函数图象知，不等式的解集为：或；

4.已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．
【答案】(1)该二次函数的解析式为.；(2)①的值为或；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，解得，，
该二次函数的解析式为；
（2）①时，则，解得，；故的值为或；
，当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，故的取值范围是．
5.如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)当点D的坐标为时，的周长最小
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入，
得，解得：，，∴抛物线的解析式为：；
（2）解：抛物线的对称轴为，如图，连接与对称轴交于点D，
∵，，∴B、C关于对称轴对称，
∴，∴，
∵为定值，此时的周长取得最小值，点D即为所求；
设直线解析式为，将A、C两点代入得，解得：，
直线的解析式为：，当时，，∴当点D的坐标为时，的周长最小．