(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第05讲 二次函数 全章复习与测试（2份，原卷版+教师版）

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一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
三、二次函数与一元二次方程的关系
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【例1】已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（ ）
A． B． C． D．​
【分析】根据二次函数图象得出a＞0、b＜0，c＜0，再结合图象过点（1，0），即可得出ab＜0，c＝﹣a﹣b＜0，根据一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象可知a＞0、b＜0，c＜0，∴ab＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b＜0，
∴一次函数y＝abx﹣a﹣b图象经过第二2、三、四象限，不经过第一象限，故选：C．
【变式1-1】已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．故选：B．
【例2】二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m≥﹣1C．m≤1D．m＞1
【分析】利用对称轴公式求出对称轴，再根据开口方向和二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小，∵当x＜m时，y随x的增大而减小，∴m的取值范围是m≤1．故选：C．
【例3】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．
【例4】已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
A．1B．C．或﹣8D．1或﹣8
【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．
【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．综上分析，a的值为﹣8或1．故选：D．
【例5】已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）根据题意，当﹣4≤x≤0时，抛物线开口向下，求得顶点坐标，当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，即可求解；
（3）①当﹣3＜m≤0时，②当m≤﹣3时，分类讨论，根据二次函数的性质，结合题意即可求解．
【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：；
（2）由（1）得：该函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，6），
∵﹣1＜0，∴抛物线开口向下，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，∴最大值与最小值的差为6﹣（﹣3）＝9，
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小；
当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，
①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4∴或（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．
【例6】我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；
③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】将点（﹣1，0），（5，0）和（0，5）分别代入y＝|x2﹣4x﹣5|即可对结论①进行判断；观察函数的图象可知函数具有对称性，然后求出函数的对称轴即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，几次可对结论④进行判断；根据函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点，y＝x+b与y＝x平行可分两种情况进行讨论：①y＝x+b经过点（﹣1，0），②y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【解答】解：∵（﹣1，0），（5，0）和（0，5）满足函数y＝|x2﹣4x﹣5|，∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），且对称轴为x＝2，
∴当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，故结论③不正确；
∵当x＝﹣1或5时，y＝0，∴当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是0．故结论④不正确；
∵函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又∵y＝x+b与y＝x平行，
∴当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①y＝x+b经过点（﹣1，0），此时b＝1，
②当y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点时，则方程x+b＝﹣（x2﹣4x+5）有两个相等的实数根，
将x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，∴判别式Δ＝（﹣3）2﹣4（b﹣5）＝0，解得：．
故结论⑤正确，综上所述：正确的结论是①②⑤．故选：B．
二次函数 单元巩固练习
一、选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【答案】D
【详解】解：A．y=2x-3，不是二次函数，故不符合题意；B．，不是二次函数，故不符合题意；
C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函数，故不符合题意；D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函数，故符合题意；故选：D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(1，0)B．(－1，0)C．(1，2)D．(－1，2)
【答案】A
【分析】题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标．
【详解】解：可转化为，与抛物线的顶点式对比，可以得出，顶点坐标为故选A．
3．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求解．
【详解】解：抛物线经过和两点，可知函数的对称轴，
，；，将点代入函数解析式，可得；故选：B．
4．将函数y=2x+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是( )
A．开口方向改变B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
【答案】C
【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【详解】函数y=2x+4x+1的图象向下平移两个单位，开口方向不改变，对称轴位置不改变，与y轴的交点改变，故A、B、D错误；y随x的变化情况不变，故C正确；故选：C
5．已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分两种情况讨论，结合函数图象即可求解．
【详解】解：A.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故A不正确；B.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，故C正确；D. .正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故D不正确；故选C
6．如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞﹣1，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】根据表格中数据求出抛物线对称轴为直线x＝，当x＜时，y随x增大而减小，当x＞时，y随x增大而增大，然后逐项分析即可．
【详解】解：∵抛物线经过点（0，−4），（3，−4），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵抛物线经过点（−2，6），（1，−6），∴当x＜时，y随x增大而减小，当x＞时，y随x增大而增大，∴抛物线开口向上，且与x轴有交点，故A，B，D错误，不符合题意；∵抛物线对称轴为直线x＝，开口向上，且过点（1，−6），
∴该抛物线在x＝处取得最小值，且最小值小于−6，故C正确，符合题意．故选：C．
二、填空题
7．二次函数y＝2(x－3)2＋1的最小值是_______．
【答案】1
【分析】根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵，∴当时，二次函数有最小值，最小值为1．故答案为：1
8．抛物线y＝x2－5x＋6与y轴交点的坐标是______．
【答案】（0，6）
【分析】将x=0代入抛物线解析式，求得对应的y值，然后可得抛物线与y轴交点坐标．
【详解】解：当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴交点的坐标是（0，6）；故答案为：（0，6）．
9．已知，在二次函数的图像上，比较______．（填>、
【分析】首先确定二次函数图像的对称轴为，根据二次项系数可知图像开口向上，根据点、点的横坐标和对称轴的位置即可判断y1、y2的大小．
【详解】解：∵二次函数，∴其对称轴为直线，又∵二次项系数，
∴二次函数开口向上，图像上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大，∵，，
∴．故答案为：>．
10．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质利用对称轴构建不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，∴m≥1．故答案为：．
11．如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）
【答案】
【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可；
【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵四边形DEFG是矩形，∴BE⊥DE，
∴BE=DE，∴故答案为：．
三、解答题
12.已知一个二次函数的图像过（－1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝4x2－3x＋3
【分析】用待定系数法求解即可．
【详解】解：设这个二次函数的解析解析式为y=ax2+bx+c，把（－1，10）、（1，4）、（0，3）分别代入，得，解得：，∴这个二次函数的解析解析式为y＝4x2-3x＋3．
13．已知是关于的二次函数，试确定的值．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值．
【详解】解：根据题意得，，解得，，
∵，即，∴．
14．已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
【答案】(1)（2，0），（4，0）(2)（3，1）
【分析】（1）令y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，可求出顶点坐标．
(1)解：当y=0时，-x2+6x-8=0，解得：x1=2，x2=4，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为（2，0），（4，0）．
(2)y=-x2+6x-8=-（x2-6x）-8=-（x-3）2+1，∴二次函数的顶点坐标为（3，1）．
15．已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，则y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【答案】小王的做法是错误的，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4
【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：
∵二次函数y=x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵-1≤x≤2，∴当x=0时取得最小值，最小值是0，当x=2时取得最大值，此时y=4，
由上可得，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
16．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，
∵-3