(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第07讲 旋转 全章复习与测试（2份，原卷版+教师版）

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一．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． ．
二．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
三．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
四．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
五．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
六．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
七．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
八．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
九．利用平移设计图案
确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
十．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
十一．利用旋转设计图案
由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
十二．几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
旋转 单元巩固练习卷
一、选择题
1．平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2)B．(2，-3)C．(2，3)D．(﹣3，2)
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，故选：A．
2．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客 D．地下水位线逐年下降
【答案】A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；故选：A．
3．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．
4．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，∴BB′=2AB=4．故选：B．
5．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
【答案】A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），故选：A．
6．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，∴翻转2023次后点C在数轴上，∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．故选：B．
二、填空题
7．在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______．
【答案】-2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵坐标系中点A（1，a）和点B（b，1）关于原点中心对称，∴b＝−1，a＝−1，
则a＋b＝−1−1＝−2．故答案为：−2．
8．如图, 在平面直角坐标系 中， 由 绕点 旋转得到，则点 的坐标为_________．
【答案】（1，-1）
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，点P即为所求，P（1，-1）．
故答案为：（1，-1）．
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=110°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，旋转角α（0°＜α＜70°），若恰好经过点D，则α的度数为 ．
【答案】40°##40度
【分析】由平行四边形的性质和旋转的性质得出=AD，∠=∠ADC=70°，由等腰三角形的性质得出∠=∠=70°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴∠ADC=180°-110°=70°，由旋转的性质得：=AD，∠=∠ADC=70°，
∴∠=∠=70°，∴∠α=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2．
【答案】16
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形，
∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE，
∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）．故答案为：16．
11．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有_______种不同的涂法．
【答案】3
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，
故有种不同3的涂法．故答案为：3．
三、解答题
12．如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=16cm．
(1)求∠BCE的度数；
(2)求CF的长度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠D=∠CAB，DC=AC，通过等腰三角形的性质等边对等角得∠D=∠DAC，进而求出各角的度数并进行转换可得；（2）根据勾股定理解三角形可得．
（1）根据旋转可得，∠D=∠CAB，DC=AC，∴∠D=∠DAC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，
∴∠ACF=90°-60°=30°，∴∠BCE=60；
（2）在RtABC中，∠B=30°，AB=16cm，∴ AC=AB=8cm
∵∠CAB=60°，∠ACF=30°∴∠AFC=90°，∴AF=AC=4cm∴CF==．
13．如图，在正方形网格中，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空：
(1)旋转中心为点____________、旋转角的度数为____________、旋转方向为____________；
(2)连结，则四边形的形状是____________．
【答案】(1)C，90，顺时针；(2)平行四边形
【分析】（1）由图形可直接求解；
（2）由旋转的性质可得，从而可得，即可求解．
（1）解：根据题意得：旋转中心为点C，旋转角为，即旋转角的度数为90，
旋转方向为顺时针；故答案为：C，90，顺时针
（2）解：根据题意得：，∴，
∴四边形是平行四边形．故答案为：平行四边形
14．如图，在中，，将沿射线BC的方向平移，得到，，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，求旋转角的度数．
【答案】旋转角为60°
【分析】由平移的性质可得出，，从而可求出．再根据旋转的性质可得出，即证明为等边三角形，得出，即旋转角为60°．
【详解】由平移的性质可知：，．
∵，∴．由旋转的性质可知：，
∴，∴为等边三角形，∴，即旋转角为60°．
15．如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
【答案】(1)中点，E，等腰(2)12
【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案．
（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称，∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵ADBC，∴∠D＝∠DCF，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，∴AB＝BF，则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）∵△ADE≌△FCE，∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，∴△ABF的面积为12．
16．如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）；(2)(3)t=或；
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4， 故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）当时，重合，此时不重合，当P，Q重合时，2t-4+t=6， ∴；
（3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4）， 解得，或， ∴t=或；
17.已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
连结，当四边形为矩形时，求m的值；
【答案】(1)（或）；(2)
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；
（2）过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值；
（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为，∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，解得：，∴（或）；
（2）∵点P在x轴正半轴上，∴，∴，
由旋转可得：，∴，过点作轴于点E，∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，∴，
又，∴，∴，∴，解得；
旋转 单元过关检测卷
一．选择题
1．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（5，1）D．（5，﹣1）
【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．
【解答】解：如图，A点坐标为（0，2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．故选：D．
2．如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．65°B．80°C．105°D．115°
【分析】由三角形的外角性质得出∠BAB1＝∠C+∠B＝115°，即可得出结论．
【解答】解：∵C，A，B1在同一条直线上，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠BAB1＝∠C+∠B＝115°．故选：D．
3．若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（ ）
①对称点的连线必过对称中心；
②这两个图形一定全等；
③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等；
④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合．
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案．
【解答】解：根据分析可得：①对称点的连线必过对称中心，正确；②中心对称的两个图形一定全等，正确；③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确；④根据定义可得此说法正确；①②③④均符合题意．故选：D．
4．如图，平面直角坐标系内Rt△ABO的顶点A坐标为（3，1），将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣3，1）
【分析】画出旋转后图形的位置，根据A点坐标可得OB、AB的长度，从而确定对应线段的长度，根据旋转后A点所在象限，确定其坐标．
【解答】解：将△ABO绕O点逆时针旋转90°后，位置如图所示．∵A（3，1），∴OB＝3，AB＝1．
∴OB′＝3，A′B′＝1．∵A′在第二象限，∴A′（﹣1，3）．故选：A．
5．将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（ ）
A．（2，6）B．（2，﹣6）C．（2，﹣3）D．（2，0）
【分析】首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．
【解答】解：∵点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，∴P1（﹣2，6），
∵点P2与点P1关于原点对称，∴P2的坐标是：（2，﹣6）．故选：B．
6．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°故选：A．
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【分析】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝25°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′
∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝20°，
∴∠CA'B'＝25°＝∠BAC，∴∠BAA'＝∠BAC+∠CAA'＝70°故选：A．
8．下列是中心对称图形的有（ ）
（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原来的图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图．依据定义即可进行判断．
【解答】解：由中心对称图形的概念可知，（1）（4）（5）（6）是中心对称图形，符合题意；
（2）（3）（7）不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故中心对称的图形有4个．故选：C．
9．）如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．130°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝105°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝105°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75°∴旋转角α的度数是75°，故选：B．
二．填空题
10．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转 60 度，会和原图案重合．
【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：60．
11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有 4 种．
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．故答案为：4．
12．如图，直线y=−33x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 （23，4） ．
【分析】利用直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，然后判断出∠BAO＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2OB，根据旋转角是60°得到AB′⊥x轴，然后写出点B′的坐标即可．
【解答】解：令y＝0，则−33x+2＝0，解得x＝23，令x＝0，则y＝2，∴点A（23，0），B（0，2），
∴OA＝23，OB＝2，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2×2＝4，
∵△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，∴∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝30°+60°＝90°，
∴AB′⊥x轴，∴点B′（23，4）．故答案为：（23，4）．
13．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．
【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B'处，则BB'为 45cm ．
【分析】根据旋转的性质，即可得OB＝OB′，即BB′＝2OB，又由在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，O是AC的中点，利用勾股定理即可求得OB的长，继而求得答案．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：OB＝OB′，∵在等腰△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，∴AC＝BC＝4cm，∵O是AC的中点，∴OC=12AC＝2cm，∴在Rt△BOC中，OB=BC2+OC2=25（cm），∴BB′＝2OB＝45cm．故答案为：45cm．
15．在平面直角坐标系中，直角△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），∠AOB＝60°，每一次将△AOB绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，依次类推，则点B2022的坐标为 （﹣1，−3） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意B（1，3），第一次旋转后B1（−3，1），第二次旋转后B2（﹣1，−3），
第三次旋转后B3（3，﹣1），第四次旋转后B4（1，3），发现四次一个循环，
∵2022÷4＝505•••2，∴点B2022的坐标为（﹣1，−3），故答案为：（﹣1，−3）．
三．解答题
16．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CD；
（2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=2AC=2，于是利用BD＝BE﹣DE求解．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，
∵AB＝AC，∴AE＝AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，
∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=2AC=2，∴BD＝BE﹣DE=2−1．
17．如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．
（1）BD与CE的数量关系是：BD ＝ CE．
（2）把图①中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．
①求证：BD＝CE．
②若延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．
（3）若AD＝8，AB＝5，把图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），直接写出BD长度的取值范围．
【分析】（1）利用线段的差直接得出结论；
（2）①利用旋转得出∠DAE＝∠BAC，进而得出∠DAB＝∠EAC，判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论；
②由△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
（3）判断出点B在线段AD上时，BD最小，点B在DA的延长线上时，BD最大，即可得出结论．
【解答】解：（1）＝，
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，故答案为：＝；
（2）①证明：由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，即∠DAB＝∠EAC．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE．
②∠DFE＝∠DAE．理由：
∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB＝∠AEC．
∵∠AOD＝∠EOF，∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF，∴∠DFE＝∠DAE．
（3）当点B在线段AD上时，BD最小＝AD﹣AB＝3，
当点B在DA的延长线上时，BD最大＝AD+AB＝13，∴3≤BD≤13．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，
由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，
在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．