(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第17讲 正多边形与圆+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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\l "_Tc22770" 【题型1 正多边形与圆中求角度】 PAGEREF _Tc22770 \h 1
\l "_Tc18703" 【题型2 正多边形与圆中求线段长度】 PAGEREF _Tc18703 \h 3
\l "_Tc15145" 【题型3 正多边形与圆中求半径】 PAGEREF _Tc15145 \h 5
\l "_Tc15287" 【题型4 正多边形与圆中求面积】 PAGEREF _Tc15287 \h 7
\l "_Tc6892" 【题型5 正多边形与圆中求周长】 PAGEREF _Tc6892 \h 8
\l "_Tc27230" 【题型6 确定正多边形的边数】 PAGEREF _Tc27230 \h 10
\l "_Tc17866" 【题型7 正多边形与圆中的实际应用】 PAGEREF _Tc17866 \h 12
\l "_Tc25455" 【题型8 正多边形与圆中的规律问题】 PAGEREF _Tc25455 \h 13
\l "_Tc4911" 【题型9 正多边形与圆中求最值】 PAGEREF _Tc4911 \h 14
\l "_Tc24725" 【题型10 正多边形与圆中的证明】 PAGEREF _Tc24725 \h 17
【知识点1 正多边形与圆】
（1）正多边形的有关计算
（2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 正多边形与圆中求角度】
【例1】如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【变式1-1】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为（ ）
A．60°B．45°C．30°D．15°
【变式1-2】如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．
【变式1-3】如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 度．
【题型2 正多边形与圆中求线段长度】
【例2】如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．33B．32C．332D．3
【变式2-1】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．22D．42
【变式2-2】已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（ ）
A．3−13B．13−1C．13+1D．23−1
【变式2-3】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（ ）
A．22：3B．2：3C．3：2D．3：22
【题型3 正多边形与圆中求半径】
【例3】如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则OA：OB：OC的值是（ ）
A．3：2：1B．9：4：1C．3：2：1D．3：6：2
【变式3-1】如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 ．
【变式3-2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，已知AC＝6，则圆的半径是（ ）
A．3B．6C．23D．43
【变式3-3】如图：⊙O与正六边形ABCDEF的两边AB和EF相切于点B和点E两点，若正六边形的边长是3，则⊙O的半径长是（ ）
A．1B．3C．2D．3
【题型4 正多边形与圆中求面积】
【例4】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．83B．123C．16D．163
【变式4-1】如图，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．2732B．2734C．934D．273
【变式4-2】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．334B．3C．534D．23
【变式4-3】⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．2B．3C．22D．23
【题型5 正多边形与圆中求周长】
【例5】如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．22：3B．2：1C．2：3D．1：3
【变式5-1】正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（ ）
A．23B．33C．63D．6
【变式5-2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
【变式5-3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（ ）
A．9+33B．12+63C．18+33D．18+63
【题型6 确定正多边形的边数】
【例6】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【变式6-1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式6-2】如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（ ）
A．8B．10C．12D．16
【变式6-3】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【题型7 正多边形与圆中的实际应用】
【例7】2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（ ）
A．11.125mmB．22.25mmC．8928mmD．8938mm
【变式7-1】颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米．
【变式7-2】斛是中国古代的一种量器．据《汉书•律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiā）焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【题型8 正多边形与圆中的规律问题】
【例8】如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
【变式8-1】如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A．24329B．81329C．8129D．81328
【题型9 正多边形与圆中求最值】
【例9】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．6B．8C．9D．10
【变式9-1】如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（ ）
A．211−2B．213−2C．6D．43
【变式9-2】如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，则△GBH周长的最小值为 ．
【变式9-3】如图，⊙O半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为 ．
【题型10 正多边形与圆中的证明】
【例10】如图，⊙O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
【变式10-1】已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB．
求证：五边形AEBCD是正五边形．
【变式10-2】（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BC上一动点，求证：PA＝PC+2PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
课后巩固练习
1.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )
A.1 B.eq \r(3) C.2 D.2eq \r(3)
2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm B．12eq \r(3)mm C．6mm D．6eq \r(3)mm
3.已知圆的半径是2eq \r(3)，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3eq \r(3) B．9eq \r(3) C．18eq \r(3) D．36eq \r(3)
4.正六边形的边心距为eq \r(3)，则该正六边形的边长是（ ）
A．eq \r(3) B．2 C．3 D．2eq \r(3)
5.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( )
A.4R=5r B.3R=4r C.2R=3r D.R=2r
6.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
7.已知正多边形的每一个外角都是72°，那么这个正多边形的内角和等于 ．[
8.正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为 ．
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于 ．
10.圆内接正六边形的边心距为2eq \r(3)，则这个正六边形的面积为 cm2．
11.如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．
第17讲 正多边形与圆 随堂检测
1.正多边形的一个内角的度数不可能是( )
A．80° B．135° C．144° D．150°
2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
3.如果一个正多边形绕着它的中心旋转60°后，能与原正多边形重合，那么这个正多边形( )
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
4.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
5.如图，要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
A.6eq \r(2) mm B.12 mm C.6eq \r(3) mm D.4eq \r(3) mm
6.如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是 度.
7.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．
8.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为 .
9.如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为 cm．
10.半径为1的圆内接正三角形的边心距为 ．
11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 eq \r(3)，试求正六边形的周长.
12.如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形.
(1)求正六边形与正方形的面积比；
(2)连接OF，OG，求∠OGF.
中心角
边心距
周长
面积
为边数；为边心距；为半径；为边长