(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第13讲 圆内接四边形+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】
【例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
方法二：根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB＝90°，再根据∠ABD＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．
【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．
方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．
【变式1-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．
【解答】解：连接OA，
∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，
∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，
∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．
【变式1-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．
【变式1-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °．
【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例2】如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝22，则弦BD的长为（ ）
A．25B．35C．10D．210
【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝22，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=BE2+DE2=62+22=210，故选：D．
【变式2-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）
A．2B．22C．32D．不能确定
【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，
∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=AB2=42=22，故选：B．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
A．(3，1)B．(−3，1)C．(−1，3)D．(−2，23)
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=23，所以A（−23，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=3OB=23
∴A（−23，0），B（0，2），∴D点坐标为（−3，1）．故选：B．
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】
【例3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，
∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，
∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，
∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．
【变式3-1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．
【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，
∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，
∵BC＝6，∴△BEC的面积为12BC•CE=12×6×2＝6，∵OB＝OE，
∴△BOC的面积=12△BEC的面积=12×6＝3，故选：A．
【变式3-2】如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为 8 ．
【分析】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；
【解答】解：如图，连接AC，BD．
∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACE=12×4×4＝8．故答案为8．
【变式3-3】如图，已知AC＝22，以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD的面积最大值为 4 ．
【分析】如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．S四边形ABCD＝S△ACT，因为AC＝CT＝22，所以当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大．
【解答】解：如图，将△ACB绕点C顺时针旋转得到△TCD．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠B＝∠CDT，∴∠ADC+∠CDT＝180°，∴S四边形ABCD＝S△ACT，
∵AC＝CT＝22，∴当AC⊥CT时，S△ACT的面积最大，最大值=12×22×22=4．故答案为：4．
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】
【例4】如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180° C．∠4＝∠7 D．∠ADC＝∠2+∠5
【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．
【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，∴∠2＝∠7，
∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，
∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，故A，B，D都正确，
∵BC和DC不一定相等，∴BC与DC不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误，
故选：C．
【变式4-1】若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．
【变式4-2】如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB＝AEB．AB＝BEC．AE＝BED．AB＝AC
【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．
【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，
∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．
【变式4-3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；
（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，
∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．
②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°AP=AH，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例5】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；
（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=2PC．
【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，
∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；
（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．
∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，
在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，
∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=2PC，∴PB＝PD+2PC．
【变式5-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠EAC=EC，∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】
【例6】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC 和∠DAC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；
（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；
（2）∠BAC＝2∠DAC．
证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，
∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，
∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，
∴∠BAC＝2∠DAC．
【变式6-2】我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD 延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．
【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；
（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，
∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
课后巩固练习
1.如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
2.如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( )
A.135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°
【答案】D.
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
【答案】C.
4.如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F、C，若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为( )
A.30° B.43° C.47° D.53°
【答案】C.
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq \(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
【答案】B
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是_________.
【答案】答案为：70°.
7.如图，A，B，C是⊙O上三点，已知∠ACB＝α，则∠AOB＝ .(用含α的式子表示)
【答案】答案为：360°﹣2α.
8.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝BC，则AB长为______.
【答案】答案为：5eq \r(2).
9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB＝36°，∠ABO＝30°，则∠D＝ .
【答案】答案为：96°.
10.如图，⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD长为3，AB长为5，AC平分∠DAB，则弦AC长为 .
【答案】答案为：eq \r(17).
11.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2eq \r(3)，求PD的长.
【答案】解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，
∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴∠ACB＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2eq \r(3).
∵∠PAC＝90°，
∴∠DAB＝∠D＝30°.
∴BD＝AB＝2eq \r(3).
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，
∴∠PBC＝∠PBD＝90°.
在Rt△PBD中，PD＝4.
12.如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)求CD的长.
【答案】证明：(1)连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；
(2)解：作AE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝eq \r(2)AB＝5eq \r(2)，
∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝eq \r(2)AC＝3eq \r(2)，
在Rt△AED中，DE＝4eq \r(2)，
∴CD＝CE＋DE＝3eq \r(2)＋4eq \r(2)＝7eq \r(2).
第13讲 圆内接四边形 随堂检测
1.圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )
A.20° B.30° C.70° D.110°
【答案】D
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠A的度数为( )
A.60° B.70° C.120° D.140°
【答案】A
3.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
【答案】C
4.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )
A.50° B.60° C.80° D.100°
【答案】D
5.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，∠AED＝115°，则∠B的度数是( )
A.50° B.75° C.80° D.100°
【答案】D.
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是 .
【答案】答案为：80°.
7.如图，四边形ABCD内接于圆，AD＝DC，点E在CD的延长线上.若∠ADE＝80°，则∠ABD的度数是 .
【答案】答案为：40°.
8.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形ABCO为平行四边形，则∠ADB＝ .
【答案】答案为：30°.
9.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是
【答案】答案为：eq \r(13).
10.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 .
【答案】答案为：4eq \r(2).
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．点F是弧AC上的任意一点，延长AF交DC的延长线于点F，连接EC，FD．求证：∠GFC＝∠AFD．
【答案】证明：连接BC，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠GFC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴弧AC＝弧AD，
∴∠AFD＝∠ABC，
∴∠GFC＝∠AFD．
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE.
求证：DB＝DC.
【答案】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC＝∠DBC.
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DBC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC.
圆的内接四边形对角互补
四边形是的内接四边形