数学必修 第一册幂函数达标测试

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1．下列函数中，，，，是幂函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义判断即可.
【详解】一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，为常数，
故，为幂函数，，均不为幂函数.
故选：B
2．下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
考点02：求幂函数的值
3．已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A．B．
C．3D．
【答案】C
【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解.
【详解】由题意f(2)＝2α＝，
所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.
故选：C
4．函数是幂函数，且在上单调递增，则 （ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，解得，.
故选：B
考点03：求幂函数的解析式
5．幂函数的图像过点，则幂函数的解析式为
【答案】
【分析】设，代入已知条件求解．
【详解】设，由已知，，所以．
故答案为：．
6．已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则 ．
【答案】-2
【分析】根据幂函数的性质，即可判断选项.
【详解】因为函数在上单调递减，所以，
当时，是偶函数，成立
当时，是奇函数，不成立，
当时，的定义域是，不是偶函数，故不成立，
综上，.
故答案为：
考点04：根据函数是幂函数求参数
7．已知函数是幂函数，则=
【答案】或.
【分析】根据幂函数的定义列方程组，解出，即可求出的值．
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
若，则，
若，则，
故答案为：或.
8．已知是幂函数，且在上单调递增．
(1)求的值；
(2)若函数，证明：的值是定值．
【详解】（1）因为是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为；
（2）证明：由（1）可得，
所以，定义域为，
则，，
所以，，
所以的值是定值.
考点05：求幂函数的定义域
9．已知幂函数，则此函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由幂函数，可得，解得，即，
则满足，即幂函数的定义域为.
故答案为：.
10．设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值.
【详解】解：由题意知，
因为其图像关于y轴成轴对称，则.
故选：C．
考点06：求与幂函数有关的复合函数定义域
11．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果.
【详解】，，解得：，
的定义域为.
故答案为：.
12．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案.
【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为．
故选：B
考点07：求幂函数的值域
13．（多选）下列函数中值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】观察可得函数、、的值域，配方法求函数的值域即可.
【详解】函数的值域为，A正确；
函数的值域为，B正确；
函数的值域为，C错误；
函数的值域为R，D错误.
故选：AB.
14．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
考点08：求与幂函数有关的复合函数的值域
15．函数，其中x≥-8，则其值域为 .
【答案】/
【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
16．已知函数，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式.
（2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，即或（舍去），
则，故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，，所以．
故在上的值域为．
考点09：根据幂函数的值域求参数或范围
17．已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即.
【详解】①，
②，
由①②得，
，
，
故函数的值域为，函数的值域也是，
因为，所以，即.
故选：B.
18．若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 .
【答案】3
【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值.
【详解】设，，则不等式变为，
若，则，
若，则，
即，，
作出的图象，实线部分即为，
要想保证，只需最小值大于等于1，
由图可知：，故只需即可，即，解得：.
故答案为：3
考点10：幂函数图像的判断及应用
19．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【详解】设幂函数为，则，，得，得，
所以，定义域为，所以排除AD，
因为，所以函数为偶函数，所以排除B，故选：C
20．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．
故选：B．
考点11：幂函数图像过定点问题
21．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 .
【答案】
【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点.
【详解】因为的图象恒过，
所以的图象恒过定点.
故答案为：
22．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据，即可知恒过定点.
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
考点12：判断一般幂函数的单调性
23．下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由一次函数，幂函数及分段函数的性质判断即可.
【详解】对于A，，由一次函数性质知：在上单调递减，A错误；
对于B，由幂函数性质知：在上单调递增，B正确；
对于C，由幂函数性质知：在上单调递增， 在上单调递减， C错误；
对于D，，则在上单调递减，D错误.
故选：B.
24．(多选)下列函数是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
函数在上单调递增，A正确；
对于B，函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，B错误；
对于C，函数的定义域为，
函数在上单调递增，C正确；
对于D，函数的定义域为，
函数在上单调递增，在上单调递增，
但，D错误；
故选：AC.
考点13：判断与幂函数有关的复合函数的单调性
25．函数的单调减区间为 ；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.
令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
26．函数的最小值为 ．
【答案】2
【分析】(方法1：单调性法)：求得函数的单调性，从而可得最小值；
(方法2：换元法)：令，结合二次函数的性质求出最小值．
【详解】(方法1：单调性法)：显然函数的定义域为，
因为函数与在定义域上均是增函数，
故在上是增函数，
所以当时， ，即函数的最小值为2．
(方法2：换元法)：令，则，
所以原函数转化为，
易知在时，函数单调递增，
所以当时， ，
故函数的最小值为2．
故答案为：2．
考点14：幂函数的单调性与其他应用
27．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
28．已知函数 且，则正数的值为 .
【答案】/
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，有，
当时，函数单调递增，有，
因为，
所以有，
故答案为：
考点15：判断五种常见幂函数的奇偶性
29．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，的定义域为，
又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；
对于B，，的定义域为，
为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；
对于C，，的定义域为，
又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；
对于D，，的定义域为，
又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.
故选：D.
30．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义和幂函数的性质逐个分析判断即可
【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上递增，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上单调递减，所以C正确，
对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
考点16：幂函数奇偶性的应用
31．若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是 ．
【答案】、3（答案不唯一）
【分析】根据题意，由幂函数的性质即可得到结果.
【详解】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又因为是奇函数，
所以需要满足为小于的奇数，为大于的奇数.
故答案为：、3（答案不唯一）.
32．已知幂函数，其中，满足：
①在区间上单调递增；
②对任意的，都有.
求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域.
【答案】，值域为
【分析】先根据幂函数的性质求出，，再根据单调性可得的值域.
【详解】因幂函数在区间为增函数，
则，即，
解得：，
又因，所以或，
当时，为偶函数，不满足；
当时，为奇函数，满足；
故，
当时，，
即函数的值域.
考点17：由幂函数的单调性求参数
33．已知函数是幂函数，且其图象与y轴没有交点，则实数=（ ）
A．2或-1B．1或0C．4D．2
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义的得到, 且其图像与轴没有交点则,从而得到.
【详解】函数是幂函数,根据幂函数的定义得到,
且其图像与轴没有交点，则，由两个式子解得.
故选：D
34．已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性，建立方程与不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
考点18：由幂函数的单调性解不等式
35．已知函数，则关于的表达式的解集为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
36．已知幂函数的图象经过点.
(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)，非奇非偶函数；
(2)
【分析】（1）待定系数法求解函数解析式，并得到函数奇偶性；
（2）根据函数的定义域和单调性，得到不等式组，求出答案.
【详解】（1）设幂函数，将代入可得，解得，
故，此函数为非奇非偶函数，
理由如下：因为定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
（2）在上单调递增，
，故，
解得，
即的取值范围是.
考点19：由幂函数的单调性比较大小
37．设、、且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数的单调性可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，且，则，A对；
对于B选项，取，，则，但，B错；
对于C选项，取，，则，C错；
对于D选项，取，，则，D错.
故选：A.
38．已知若，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和不等式的性质即可求解.
【详解】在单调递增，
因为，则，所以，
故选：C.