人教A版 (2019)必修 第一册幂函数教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册幂函数教案，共8页。

学校
课题
幂函数
年级
高一
学科
数学
教材分析
幂函数是本章的核心内容之一，也是我们经常使用的数学模型.它与初中阶段学习的一次函数、二次函数和后面将要学习的指对函数和三角函数，都是重要的基本初等函数.教科书将“幂函数”的内容安排在函数的概念和性质之后，是“函数”内容的继续和具体化.作为高中阶段学习的第一类数学模型，主要是借助对这一类函数的研究，使学生学会研究函数的一般方法，为后面指数函数和对数函数的学习提供研究模式.同时它围绕函数概念这个核心，从相互联系的观点出发，通过类比、归纳和概括，引导学生从不同角度理解函数的概念，在图象与性质研究上也提供了先构建整体思路，再展开具体研究的过程与方法.
学情分析
《幂函数》是人教 A 版必修第一册第三章的内容.该课时学习的主要内容是：通过实例，抽象概括出幂函数的定义；由五种常用幂函数的图象和性质，归纳探究一般幂函数在第一象限的图象变化情况和性质特征.这部分知识既体现了初高中的知识衔接 ,又进一步提升学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等数学素养.
教学目标
1.通过具体实例，了解幂函数的概念；
1
2.会画出幂函数y =x, y =x2 , y =x3 , y =x- 1 , y =x2 的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；
3.了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小，进一步体会数形结合的思想；
4. 通过观察、类比、归纳、联想等过程，体会幂函数的变化规律以及研究一类函数的基本内容与方法，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象的数学素养.
教学重难点
1.幂函数的定义和五个常用幂函数的图象及性质.
2.探索幂函数在第一象限的性质特征，体会图象的变化规律.
教学准备
问题引导教学法，启发式教学，多媒体辅助教学
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
智慧课堂应
用及分析
1.功能选择
2.应用价值
3.评价体现
时长
环节一 ： 问题情境，
发现问题
借用名人
名事，让
学生了解
数学是人
类文化的
重要组成
部分，了
解数学在
人类文明
发展中的
作用，体
现数学的
文化价值
和学科间
的融合，
同时突出
本节课的
主题内容函数.
通过开普
勒第三定
律的简单
介绍，从
天文学背
景迁移到
数学概念
中来，激
发学生的
函数概念的分析， 为探索种种运动规律提供有力工具，教给人们如何依据已有的经验去预测未来的事物，从而进一步获得自然界的科学知识，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律.
—普林希姆
德国天文
1. 思考教师提出的问题的答案
2.对于生活情境：根据情境得出关系式
y =x, v = ，辨别为函数关系，
因此改写成常用的函数形式
- 1
y =x, y =x .
3.学生回忆函数y =x2 ，并让学生找出其应用背景；
学生得出函数y =x3 ，学生找出其应用背景
;
1.利用课件播放开普勒第三定律初期研究的过程的视频
2.利用课件展示问题链
3.借助智慧课堂的抢答和随机抽选功能，随机选取学生回答问题，考察学生的掌握程度
15
分钟
求知欲，
丰富课堂
内容，而
且有利于
提升学生
的人文素养.
设计问题
情境，引
导学生提
出数学问
题，进而
建立数学
模型，让
学生经历
从背景分
析到函数
呈现的发
生过程.
引导学生
从幂函数
的形式入
手，联系
已学知识
,让学生
体会“用
数学的眼
光”看事
物，用“
数学的思
维”探究
规律的过
程；同时
通过寻找
一般化的
表达式，
培养学生
从特殊到
学家开普勒研究了行星围绕太阳的运动，分别于1609年和1619年提出了行星运动的三大定律.
那么在生活中 ,我们有没有遇到更多的有规律的事物呢 ?
1.开普勒第三定律也被称为周期定律，即研究了以太阳为焦点的椭圆轨道运行的行星，其椭圆轨道半长轴 R 与公转周期 T之间的关系，得出 =k 这个结论，利用表中的数据对定理做一些改编 ,代入表中地球所对应的数字，得到k =1 ,因此得到 T与R 的关系式
3
T =R 2 ，即得到了变量依赖
一般的归纳能力
关系，换一个字母表示，得
3
出函数y =x2 .
2.镇江金山等10景点的城市畅游卡价格为1百元/张，某游客需买x张 ,需要支付的金额为y百元 , y是x的函数
;
游玩结束后，游客驾车返回 , t s内行进了1 km，那么他驾车的平均速度为 v
km/s，v 是 t的函数.
引导学生回忆函数y =x2 ，并让学生找出其应用背景；
启发学生得出
函数y =x3 ，并让学生找出其应用背景；
为了完整幂函数体系，提出
1
函数y =x2 ，并让学生找出其应用背景.
自变量在哪里？ （底数为自变量）
函数式是一个什么形式 ? （幂指数的形式）
指数一样吗 ? （不一样 , 但都是常数）
系数部分一样吗？ （系数都是1）
能否用一个一般化的表达式表示上
述这些函数 ? （ y =xa )
你能给这样的函数取一个名字吗？
环节二 ：意义建构，提出问题
给出概念 ,培养学生数学抽象的能力
.
幂函数的定义 :
一般地， 我们把形如
y =xa
的函数称为幂函 数 （ pwer functin） ，其 中 x是 自 变量,a 是常数.
其中①底数是自变量；②指数是常数；③幂前的系数为1.
通过问题链的探究得到幂函数的定义
10
分钟
环节三 ：探究性质，分析问题
教师提问
, 学 生 回
答 ， 教师
在学生回
答的基础
上进行补
充 ， 并指
接着该研究什么？请你根据已有的经验说一说
.
这五个函数里有几个是
n画出y =x3 的图象并填写性质
.
师 生 活 动 ： 1.请学生上黑板填写表格 ， 教
利用智慧课堂的投屏功能将
gegebra
软件操作面板投屏到大屏幕上，在同一个平面直角坐标系中作出幂函
10
分钟
出数形结
合思想是
学习数学
的一类重
要思想方
法 ， 这里
用到了 “
以形助数
” , 让 学
生经历通
过图象得
出函数性
质的探究
历程 ， 发
展理性思
维 水 平 .
同时展示
本节课的
学法指导
——联 系地学.
我们初中就学习过的？
对这三个函数， 我们学过它们哪些性质呢？
（定义域，值域，单调性，奇偶性，最值 , 解析式， 图象……）
下面请同学来选择其中的一个函数说说它的这些性质？
你是依据什么来掌握这个函数的性质 的 ?（图象）
初中阶段，画函数图象的方法是什么？ （列表
师辅助画图.
2.请 同 学 回 答作图及填表过程 ， 教师在学生回答的基础上提问 ， 主要引导利用解析式来分析函数的过程.
3.教师总结从函数图象和解析式两个角度认识函数的性质，从解析式可以获得定义域、奇偶性等性质，这些性质也可以反过来帮助作图，使研究解析式和作函数图象相辅相成.
1
n猜 想 y =x2 的图象并验证说明.
师 生 活 动 ： 1.请学生描述猜想结果；
2.引 导 通 过 解
数图像，便于学生观察性质
, 描点，连线）
由图象得出了什么性质 ? （定义域 、奇偶性，单调性）
如何严格证明奇偶性和单调性？ (定义证明）
由奇偶性如何简化作图过程？ （只画 (0，+¥ )上的函数图象 , 再由对称性补全图象 )
析式对函数性质进行初步的判断；
3.描点画图.
2 - 1 y =x, y =x , y =x
三个幂函数画到同一个平面直角坐标系中.
环节四 ：应用拓展，解决问题
幂函数有
明确的现
实背景，
形式简单
、性质明
显而且应
用广泛.
回顾课前
回顾课堂引入 ：开普勒第三定理
通过幂函数性质的具体分析，大致画
n你能比较下列数值的大小吗 ?
（ 1） 1.13 和 0.893
;
解法一 ： （ 1）
借助智慧课堂的全班作答功能，有利于直观地展现学生不同的作答思路，便于全班分享
10
分钟
引入中的
开普勒第
三定律，
一方面让
学生实际
应用幂函
数的图像
性质，另
一方面使
学生明白
客观世界
的需求是
数学发展
的动力，
了解数学
家的创新
精神，从
而逐步完
成正确的数学观.
幂函数在
数学中的
应用 ， 教
学中应注
意贴近学
生的思维
, 呈 现 多
种解法，
最终指出
选取合适
的幂函数
模型 ， 利
3
出函数y =x2 的图象；并利用其单调性说明其符合人们观察到的现象，
即行星离太阳越远，公转周期就越长这个象限，再次说明幂函数的应用价值.
例题一让学生找多种方法进行大小的比较 ,最后突出“函数的力量”
.
教师总结方法 :
选取合适的幂函数模型 , 利用幂函数的图象和单调性；
选取合适的中间值.
1. 13 =1.331，
0.893 » 0.705
因此1.13 >0.893 .解法二 ： （ 1）因 为 函 数 y =x3在 [0, +¥ )上是增函数，
又1.1>0.89，
所以1.13 >0.893 .解法三 ： （ 1）
3
æ1. 1 ö 3 3
0.89 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 1(÷),ø) »1.236 >1
,
因 为函 数 y =x3 在[0, +¥ )上是增 函数，
又1.236>1，
所以1.2363 >13 .
即 1.13 >
0.893 .
用幂函数
的单调性
或直接利
用图象来
比较大小
比较快捷
.
例题过程
循序渐进
,使学生
体会此类
题型的做题技巧.
环节五 ：回顾总结，提炼升华
围绕函数
概念这个
核心，从
相互联系
的观点出
发，利用
函数与代
数式之间
的联系，
让其中一
个量随另
一个量的
变化而变
化，通过
类比、归
纳和概括
,引导学
生从不同
角度理解
幂函数概念.
回顾函数的研究路径，再次展开每一环节的教学内容，对本课内容做一个系统归纳 .最后把研究路径归纳成研究数学对象的一般方法，数学的研究对象是多种多样的 ,但研究过程 、研究方法是一脉相承的，基本都是从背景出发，到概念、到性质再到应用.通过知识点的结构图，帮助学生
学生自发地对本节课的知识点进行回顾与讨论
借助智慧课堂的平板的讨论功能，有助于发挥学生的主体地位
5分钟
理清研究过程
.
板书设计
数学抽象逻辑推理
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
背景： 科学，生活，数学N =ab
! i
概念： 幂函数： 指数函数
直观想象 对数函数
形如y =xa 的函数，
其中x是自变量, a 是常数.
一般 特殊
性质：（按正负）当a >0 时， a =1, 2, 3,
（1）函数图象都过（1，1），（0，0），
（2） 函数的图象随x的增大而上升， 函数在区间分
EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 5(类),讨) [0, +¥ )上函特数殊
论
当a