高中数学人教A版 (2019)必修 第一册幂函数同步达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册幂函数同步达标检测题，共6页。
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．
知识点二、幂函数的图象及性质
1．作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2．作幂函数图象的步骤如下：
（1）先作出第一象限内的图象；
（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；
若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．
3．幂函数解析式的确定
（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4．幂函数值大小的比较
（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的概念 题型二：求函数解析式 题型三：定义域问题
题型四：值域问题 题型五：幂函数的图象 题型六：定点问题
题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 题型八：比较大小
题型九：幂函数性质的综合运用
【典型例题】
题型一：幂函数的概念
例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧与总结】
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．
例2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例4．（2022·河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：求函数解析式
例5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．
【方法技巧与总结】
幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
例6．已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．
例7．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
例8．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.
例9．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．
例10．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．
例11．已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（ ）
A．B．3C．9D．8
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．16C．D．
例14．已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;
例15．幂函数在上单调递减，则的值为______．
例16．（2022·全国·高一专题练习）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．
题型三：定义域问题
例17．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
使表达式有意义．
例18．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;
例19．已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．
例20．（2022·上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________
例21．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
题型四：值域问题
例22．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0]B．C．［0,2]D．
【方法技巧与总结】
利用单调性求解．
例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值，并确定的解析式；
(2)令，求在的值域.
例24．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
例25．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
例26．（2022·全国·高一专题练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
例27．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
例28．（2022·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.
例29．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
例30．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型五：幂函数的图象
例31．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
例32．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
例33．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
例35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
例36．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p为奇数，且B．p为奇数，且
C．p为偶数，且D．p为偶数，且
题型六：定点问题
例37．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
【方法技巧与总结】
所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点
例38．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）已知幕函数的图象经过点，则（ ）
A．函数是偶函数 B．函数是增函数
C．函数的图象一定经过点 D．函数的最小值为0
例39．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（ ）
A．最少一个，最多三个B．最少一个，最多二个
C．最少个，最多三个D．最少个，最多二个
例40．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）
B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限
D．幂函数的图象不可能是直线
题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题
例41．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
【方法技巧与总结】
运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．
例42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
题型八：比较大小
例43．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，，．
【方法技巧与总结】
（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．
（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．
（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
例44．求出函数的单调区间，并比较与的大小．
例45．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，试比较，，的大小．
题型九：幂函数性质的综合运用
例46．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
【方法技巧与总结】
以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．
例47．（多选题）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
例48．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
例49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.
例50．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为 __．
例51．（2022·全国·高一专题练习）写出一个具有性质①②③的函数______．
①定义域为；②在单调递增；③．
例52．（2022·全国·高一课前预习）已知函数．
(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：
(2)若在上减函数，求的取值范围．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．B．C．D．4
4．“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．必要不充分
C．充分不必要D．充要
5．（2022·全国·高一课时练习）函数部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ）
A．1或B．3C．D．或3
8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
10．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是幂函数，则实数k的值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为减函数
C．若，则
D．若，则
12．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域是
C．若，则
D．是上的增函数
三、填空题
13．已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．
14．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
15．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解为______．
16．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
四、解答题
17．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．
18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，.
(1)求方程的解集；
(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.
19．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)当x