专题18.2 利用平行四边形的性质与判定求解（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

这是一份专题18.2 利用平行四边形的性质与判定求解（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题182利用平行四边形的性质与判定求解压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题182利用平行四边形的性质与判定求解压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共101页， 欢迎下载使用。
专题18.2 利用平行四边形的性质与判定求解 典例分析 【典例1】【模型建构】 如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α．小明在学习了平移之后，将图1中的线段AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到▱ADEB，图3是将线段CD沿C→A方向平移线段CA的长度得到▱ACDE． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在CA，AB延长线上，且AD=BE，∠DEA=15°，求证：DE=BC． 方法一：过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，将证明DE=BC，转化为证明DE=EF； 方法二：过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF，EF，将证明DE=BC，转化为证明BC=CF． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程． （2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题： 如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE=BC，AC=BD，连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数． （3）如图6，在△ABC中，∠C=45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H，若AE=32，BD=5， AD=35，请直接写出BE的长． 【思路点拨】 （1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°； 方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF，DF，证明四边形BCFE是平行四边形．得到CF=BE=AD，BE∥CF，再证明△DAE≌△FCDSAS，DE=DF，进而证明△DEF是等边三角形，利用等边三角形的性质得到DE=EF即可． 方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，四边形CDEF是平行四边形．由CD=EF，CD∥EF证明△DAE≌△BEFSAS，得到DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°，再证明△BCF是等边三角形得到BC=CF即可． （2）方法一：如答图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH、EH，证明四边形ABDH是平行四边形，得到AH=BD，AH∥BD，再证明∠HDE=45°得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH、DH，证明四边形AEDH是平行四边形得到AE=DH，AE∥DH，再证明△ABC≌△BHDSAS，得到AB=BH，∠ABC=∠BHD，进而求得∠BAH=45°即可； （3）如答图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=35，连接AF、EF，作EM⊥AF于点M，证明四边形ADBF是平行四边，得到AF=BD=5，AF∥BD，进而∠MAE=∠C=45°，则ME=AM=22AE=3，在Rt△EFM中，利用勾股定理分别求解即可． 【解题过程】 解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 方法一：如图1，过点E作EF∥BC，且EF=BC，连接CF,DF， 四边形BCFE是平行四边形． ∴CF=BE=AD，BE∥CF， ∴∠DCF=180°−∠BAC=90°， ∵AB=AC，AD=BE， ∴AB+BE=AC+AD， 即AE=CD， ∵∠DAE=∠FCD=90°， ∴△DAE≌△FCDSAS， ∴DE=DF， ∵EF∥BC， ∴∠BEF=∠ABC=45°， ∴∠DEF=∠AED+∠BEF=60°， ∴△DEF是等边三角形． ∴DE=EF=BC． 方法二：如图2，过点C作CF∥DE，且CF=DE，连接BF,EF， ∴四边形CDEF是平行四边形． ∴CD=EF，CD∥EF， ∴∠BEF=180°−∠BAC=90°， ∵AB=AC，AD=BE， ∴AB+BE=AC+AD， 即AE=CD， ∴AE=EF， ∵∠BEF=∠DAE=90°， ∴△DAE≌△BEFSAS， ∴DE=BF，∠BFE=∠DEA=15°， ∴BF=CF，∠ABF=∠BEF+∠BFE=105°， ∴∠CBF=∠ABF−∠ABC=60°， ∴△BCF是等边三角形， ∴BC=CF=DE．   （2）方法一：如图3，过点D作DH∥AB，且DH=AB，连接AH,EH， ∴四边形ABDH是平行四边形， ∴AH=BD，AH∥BD， ∴∠EAH=180°−∠C=90°， ∴∠CAB+∠FAH=90°， ∵AC=BD， ∴AC=AH， ∵AE=BC，∠EAH=∠C=90°， ∴△AEH≌△CBASAS， ∴AB=EH，∠AHE=∠CAB， ∴EH=DH，∠AHE+∠FAH=90°， ∴∠AFH=90°， ∴∠HDE=45°， ∴∠AGE=∠HDE=45°； 方法二：如图4，过点A作AH∥ED，且AH=ED，连接BH,DH， ∴四边形AEDH是平行四边形， ∴AE=DH，AE∥DH， ∴∠BDH=180°−∠C=90°， ∴∠HBD+∠BHD=90°， ∵AE=BC， ∴BC=DH， ∵AC=BD，∠BDH=∠C=90°， ∴△ABC≌△BHDSAS， ∴AB=BH，∠ABC=∠BHD， ∴∠ABC+∠HBD=90°， ∴∠ABH=90°， ∴∠BAH=45° ， ∴∠AGE=∠BAH=45°； （3）如图5，过点B作BF∥AD，且BF=AD=35．连接AF,EF，作EM⊥AF于点M， ∴四边形ADBF是平行四边形． ∴AF=BD=5，AF∥BD， ∴∠MAE=∠C=45°， ∴ME=AM=22AE=3， ∴在Rt△EFM中， 由勾股定理，得EF=FM2+EM2=5+32+32=73． ∵AD⊥BE于点H， ∴∠AHE=∠FBE=90°， ∴Rt△EBF中，有BE=EF2−BF2=73−352=27． 学霸必刷 1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点O，若小正方形的边长为1，则AO的长为（   ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB的中点，EF⊥CD于点F，若EF=6，四边形ABCD的面积为24，则CD的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，AB=AC=CD=DE，且BE=BD，则∠EBD=（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC分别交三边于点D，E，F，则PD+PE+PF等于（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合），以BD,BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP∥BE,AP=BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=14AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　） A．14 B．35 C．15 D．34 6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，N为BC中点，AH⊥CD于点H，连接NH，若∠D=α，则∠CHN=（   ） A．30∘+12α B．α−22.5∘ C．45∘+α D．90∘−12α 7．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=CD=10，BC=AD=8，过O作直线EF分别交AB，CD于E，F两点，若∠ACB=90°，则四边形AEFD周长的最小值为（    ） A．24 B．16 C．22.8 D．18.2 8．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=4cm2，S▱ABCD=64cm2，则阴影部分的面积为（    ）cm2．    A．28 B．26 C．24 D．20 9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）如图，四边形ABCD中，AG⊥BC交BC于点G，AB=CD=5，AG=4，CG=2BG，点P在AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，连接EF，图中阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．20 C．18 D．16 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=3，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD，连接EC、GC，则GC+EC2的最小值为（    ） A．27 B．45 C．18 D．36 11．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，点E为BC上一动点，DC⊥BC，连接AE，DE．DE与AC交于点F，∠DFC=45°，AC=215，CE=33，若BE=DC，则AE=（   ） A．13 B．15 C．6 D．513 12．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 13．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，则EF=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2024·安徽阜阳·二模）如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是边BC，AC上的点，且满足BD=CE=14BC，M是边AB上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造▱MDNE．若AB=12，则MN的最小值为（      ） A．63 B．43 C．6 D．4 15．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1∶4，其中正确的结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，连接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若DM=3,CM=4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边△ABC中，AB=3，点M，N分别在边AC,BC上，且AM=CN，则线段MN的最小值为 ． 18．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，∠BAC=2∠ACD，E是BC边上一点，连接AE，过点E作EF⊥AB于点F，且CE=EF．若AC=6，AB=10，则CD的长为 ． 19．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，点E、G分别是▱ABCD边AD、AB上的点，AE:ED=3:2，BG:GA=1:3，作EF∥AB交BC于点F，GH∥AD交CD于点H，连接FH，若S▱ABCD=50，则图中阴影面积为 ．    20．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，∠ECF=60°，AE∥BD，EF⊥BC，EF=23，则AB的长是 ． 21．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如图，在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,∠BAD=105°,AD=42，CD=13，则AB= ． 22．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，∠BAD的平分线与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，且点F为边BC的中点，过点C作CG⊥AE，垂足为G，若CG=2，则AE的长为 ． 23．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，CD边的垂直平分线分别交边CD，AD于G，E，连接CE，若CE∥AB，AB=43，CE=10，则AE的长为 ． 24．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，AC平分∠DAB，∠DCA=30°，DC=3cm，则∠BCA= °，梯形ABCD的周长为 cm． 25．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，点D,点E分别为△ABC的边BC,AC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C落在点F处，连接BF,CF．若EF∥AB，BF⊥CF，AB=DF=35，FC=12，DE=5，则AE的长为 ． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D,E是边AB上两动点，连接CD，CE．若DE=2，则△CDE周长的最小值为 ． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=43，BC=37，∠ABC=60°，E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=CF，连接BE，AF，则AF+BE的最小值为 ．    28．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为 ．    29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BD⊥CD于点D，BD=24，CD=7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA+FC的最小值是30时，那么AB= ． 30．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，▱ABCD中，∠B=45°，AB=22，BC=6，点E为AB边上的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE的周长最小值为 ． 31．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处，当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP的长为 ．        32．（23-24八年级下·广东茂名·期末）如题图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC边上的点，且AB=16，BD=CE=3，M是AB边上的一动点，以M，D，E为顶点，DE为对角线构造平行四边形MDNE，则MN的最小值为 ． 33．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在▱ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，GE∥BC交AB于点E，HF∥AD交CD于点F． （1）求证：△AEG≌△CFH； （2）若EG=2，∠ACB=60°，∠BAC=45°，求AC的长． 34．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BF交AD于点F，∠BCD的角平分线CG交AD于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接PE，PE=BE．  （1）求证：点E是BC中点； （2）若AB=4，PE=6，则GF的长为 ______． 35．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延长CB、FA交于点G，得到△ABG． （1）请判断△ABG的形状，并证明你的结论． （2）若AB=4，BC=6，CD=5，DE=2，直接写出六边形ABCDEF的周长为________． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE=EF，且∠DEF=60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG． （1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形； （2）如图2，当AD