专题17.4 勾股定理逆定理的应用（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题17.4 勾股定理逆定理的应用典例分析 【典例1】如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14 m，DC=48 m，AB=40 m，CB=30 m．（1）求小路AC的长；（2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2 m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的距离最近？【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．（2）先证明∠ABC=90°，再运用面积法，得出BH=24，根据勾股定理列式计算得出HC=BC2−HB2=18m，最后结合运动速度，即可作答．【解题过程】（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48m，∴在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=50m，∴小路AC的长为50m；（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，  依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．∵AB=40m，CB=30m．AC=50m，∴AC2=2500,AB2+BC2=2500，即AC2=AB2+BC2，∴∠ABC=90°，则S△ABC=12AB×BC=12AC×BH，即BH=AB×BCAC=40×3050=24m，∴HC=BC2−HB2=18m∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，∴HC+BC=18+30=48m，则48÷2=24s∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．学霸必刷1．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（   ）A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定【思路点拨】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出∠AOC=∠AOB=90°即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．【解题过程】解：由题意得，OA=40×2=80海里，OB=OC=30×2=60海里，AB=AC=100，∵OA2+OC2=AC2=100，OA2+OB2=AB2=100，∴∠AOC=∠AOB=90°，∴点B、O、C三点共线，∵∠1=46°，∴∠5=90°−46°=44°，∵∠2=∠5，∴∠2=44°，∴乙船的航向为南偏东44°或北偏西44°，故选：C．2．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25m，BC=9m，CD=12m，DA=20m，∠C=90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ）A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元【思路点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接BD，先由勾股定理求出BD长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形ABCD面积，然后用面积乘以单价即可．【解题过程】解：连接BD，如图2，∵∠C=90°，BC=9m，CD=12m，∴BD=BC2+CD2=92+122=15m∵AD2+BD2=202+152=252，AB2=252，∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°∴S四边形ABCD=SRt△ABD+SRt△BCD=12AD⋅BD+12BC⋅CD=12×20×15+12×9×12=204m2，∴铺满该区域需要的费用为：204×200=40800（元），故选：A．3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（   ）A．48m2 B．114m2 C．12m2 D．158m2【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接AC，利用勾股定理得到AC=15m，进而利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积进行求解即可．【解题过程】解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=AB2+BC2=92+122=15m．∵CD=8m，AD=17m，∴AC2+CD2=152+82=289，AD2=172=289，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°，∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×9×12+12×15×8=54+60=114m2故选：B．4．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东38°方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上．【思路点拨】此题考查了勾股定理的逆定理和方位角的表示，首先根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，然后利用方位角求解即可．【解题过程】解：根据题意得，∠ACD=38°∵AC=5，BC=12，AB=13∴AC2+BC2=52+122=169=AB2∴∠ACB=90°如图所示，当点B在AC下方时，∴∠BCE=180°−∠ACB−∠ACD=52°∴岛B在岛C的南偏东52°方向上；如图所示，当点B在AC上方时，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−38°=52°∴岛B在岛C的北偏西52°方向上；综上所述，岛B在岛C的南偏东52°或北偏西52°方向上．故答案为：南偏东52°或北偏西52°．5．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝ 千米．【思路点拨】先根据勾股定理的逆定理说明△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−3千米，最后在Rt△ACH运用勾股定理即可解答．【解题过程】解：∵在△CHB中，CH2+BH2=42+32=25，BC2=25，∴CH2+BH2=BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−3千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−3，CH=4，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=x−32+42，解得x=256．故答案为256．6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AB=29cm，AD=13cm，BC=20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB=13cm，CQ=20cm．当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示，∠ADC成180°，此时PQ=449cm，则可变定长钢架CD的长度为 cm．当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，则此时床高（CD与AB之间的距离）为 cm．【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键．当伸缩杆PQ打开最大时，先证明△ACB是直角三角形，由勾股定理，得AC=21cm，即可由CD=AC−AD求得CD长；当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，由平行线间的距离，可得DF=CH，FH=CD=8cm，DF=CH，再由勾股定理，得AD2−AF2=DF2=CH2=BC2−BH2，即132−AF2=202−21−AF2，即可求得AF=5cm，即可由DF=AD2−AF2求解．【解题过程】解：如图2，∵BC=20cm，PB=13cm，∴PC=BC−PB=7cm，∵CQ=20cm，PQ=449cm，∴CQ2+CP2=449cm2，PQ2=449cm2，∴CQ2+CP2=PQ2，∴∠PCQ=90°，∴∠PCD=90°，∴∠ACB=90°，∵∠ADC成180°，∴△ACB是直角三角形，由勾股定理，得AC=AB2−BC=292−202=21cm∴CD=AC−AD=21−13=8cm；当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，如图，∵CD∥AB，CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，∴DF=CH，∠CDF=90°，∴FH=CD=8cm，∴AF+BF=AB−FH=29−8=21cm由勾股定理，得AD2−AF2=DF2=CH2=BC2−BH2∴132−AF2=202−21−AF2∴AF=5cm∴DF=AD2−AF2=132−52=12cm故答案为：8；12．7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）如图，某学校在美化校园施工过程中留下了一块空地，现计划在空地上铺草坪，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【思路点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．【解题过程】解：如图，连接AC， 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米， 由勾股定理得AC=CD2+AD2=32+42=5米，∵AB=13米，BC=12米，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，该区域面积S=S△ACB−S△ADC=12×5×12−12×3×4=24 (平方米)，用该草坪铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．8．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°,DC=3,DE=4,DB=7,AB=8,AE=1，求四边形ABDE的面积．【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理得CE=5，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠A=90°，然后由三角形面积公式列式计算即可．【解题过程】解：∵∠EDC=90°,DC=3,DE=5，∴CE=CD2+DE2=32+42=5，∴AC=AE+CE=6，∵BC=BD+CD=3+7=10，AB=8，∴AB2+AC2=100=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，∴S四边形ABDE=S△ABC−S△CDE=12AB⋅AC−12DC⋅DE =12×6×8−12×3×4=24−6=18答：四边形ABDE的面积为18．9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，CD=CB=13米，BD=10米，AB=6米，AD=8米．求这块四边形空地ABCD的面积．【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作CE⊥BD于E，由等腰三角形的性质可得BE=DE=12BD=5米，由勾股定理可得CE=CD2−DE2=12米，再由勾股定理逆定理得出∠DAB=90°，最后由S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD计算即可得解．【解题过程】解：如图，作CE⊥BD于E，，∵CD=CB=13米，BD=10米，∴BE=DE=12BD=5米，∴CE=CD2−DE2=12米，∵82+62=102，即AD2+AB2=BD2，∴△ABD为直角三角形，即∠DAB=90°，∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=12BD⋅CE+12AB⋅AD=12×10×12+12×6×8=60+24=84（平方米）．10．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．已知AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由：（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：5≈2.2）【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．（1）根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求出BD=BC2+CD2=1202+602=605，分别计算两条路线的长度，即可得到结论．【解题过程】（1）解：AB⊥BC，理由如下：由题意可知，AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，即BC=120米∵AB2+BC2=902+1202=1502=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即AB⊥BC；（2）由题意可知，BC⊥CD，∴BD=BC2+CD2=1202+602=605（米），∴AB+BD=90+605≈222（米）而AC+CD=150+60=210（米）∵AB+BD>AC+CD，∴路线A−C−D更短11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，AD=17m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE，垂足为E．点E恰好是BC的中点，且AE=12m．（1）求BC的长；（2）连接AC，判断△ADC的形状并说明理由．【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键．（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．【解题过程】（1）解：∵ AE⊥BC，∴ ∠AEB=90°．在Rt△ABE中，∵ AB=15m，AE=12m，∴ BE=AB2−AE2=152−122=9m．∵ E是BC的中点，∴ BC=2BE=18m．（2）解：如图，∵ AE⊥BC，E是BC的中点，∴ AC=AB=15m．∵ AD=17m，CD=8m，∴ CD2+AC2=AD2，∴ ∠ACD=90°，∴ △ADC是直角三角形．12．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BD=240米，CD=320米，BC=400米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．（1）根据勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，即可得到结论；（2）设AD=x米，则AC=AB=x+240米，根据勾股定理得到x+2402=x2+3202，解得x=2803，则AD=2803米，即可求出原来的路线AC的长．【解题过程】（1）由题知：BD=240米，CD=320米，BC=400米，∵2402+3202=4002，∴在△BCD中：BD2+CD2=BC2， ∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，则CD⊥AB，即CD是最近的路．（2）设AD=x米，则AC=AB=x+240米，在△ACD中，根据勾股定理AC2=AD2+CD2，即x+2402=x2+3202，解得x=2803，则AD=2803米，得：AC=AB=AD+BD=10003米．13．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地ABC，计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB=15米，AC=13米，AD=12米，BD=9米．（1）求DC的长；（2）若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元．【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法．（1）首先利用勾股定理逆定理得出∠CDA=90°，再用勾股定理求出CD的长；（2）利用等积法求DE，根据铺设小路AD、DE每米100元，列式计算即可解答．【解题过程】（1）解：∵AB=15米，AD=12米，BD=9米，∴152=122+92，则AB2=AD2+BD2，∴△ABD是以∠ADB为直角的直角三角形，∴∠CDA=90°，在Rt△CDA中，由勾股定理得：CD=AC2−AD2=132−122=5（米）；（2）解：∵DE⊥AB，∴S△ABD=12×AB×DE=12×BD×AD，即12×15×DE=12×9×12，∴DE=365（米），∴需花费365+12×100=1920（元）答：修建小路共需1920元．14．（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；（2）如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求出该实验基地的面积．【思路点拨】本题考查勾股定理及其逆定理：（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可；（2）过点A作AD⊥BC于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出BD,再根据勾股定理求出AD,根据三角形面积公式计算,得到答案．【解题过程】（1）解：∵52+122=25+144=169,132=169,∴52+122=132,∴这个三角形是直角三角形,∴三角形的面积为：12×5×12=30m2；（2）如图,过点A作AD⊥BC于D,设BD=xm,则CD=14−xm,在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴AB2−BD2=AC2−CD2,即152−x2=132−14−x2,解得：x=9,由勾股定理得：AD=AB2−BD2=12（m）,∴S△ABC=12×14×12=84m2,∴该实验基地的面积为84m2．15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知∠B=90°,AB=12米，BC=16米，AE=15米，CE=25米．（1）求四边形ABCE的面积；（2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度．【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；（1）根据勾股定理求得AC2，进而根据勾股定理的逆定理证明△ACE是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据题意得出ED+DC=35米，设DE=x米，则CD=35−x米，在Rt△ACD中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【解题过程】（1）解：∵∠B=90°,AB=12米，BC=16米∴AC=AB2+BC2=20米∵AC2+AE2=202+152=625=252=CE2∴△ACE是直角三角形，且∠CAE=90°∴四边形ABCE的面积为S△ABC+S△AEC=12AB×BC+12AC×AE=12×12×16+12×20×15=96+150=246平方米（2）解：由（1）可得△ACE是直角三角形，∠CAE=90°依题意，ED+DC=EA+AC=15+20=35米，设DE=x米，则CD=35−x米在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2∴35−x2=202+15+x2解得：x=6，即线段DE的长度为6米．16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中AC=BC=26，AB=20，点E为AB的中点．现需要开辟一块△AEF的空地用于堆肥，已知AF=8，EF=6．（1）你能确定△AEF的形状吗，请说明理由．（2）计算阴影部分的面积．【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．（1）由题意得AE=12AB=10，由勾股定理逆定理即可判断△AEF的形状是直角三角形；（2）连接CE，则CE⊥AB，利用勾股定理可计算出CE的长，利用S△ABC−S△AEF即可计算出阴影部分面积．【解题过程】（1）解：△AEF的形状是直角三角形；理由如下：∵点E为AB的中点，∴AE=12AB=10；∵AF2+EF2=82+62=100=AE2，∴△AEF的形状是直角三角形，且∠AFE=90°；（2）连接CE，如图，∵AC=BC，AE=12AB=10，∴CE⊥AB，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，CE2=AC2−AE2=262−102=242，∵CE>0，∴CE=24，∴S阴影=S△ABC−S△AEF=12AB⋅CE−12AF⋅EF=12×20×24−12×8×6=216．17．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB=CD=4m，BC=9m，AD=7m．（1）求这块空地ABCD的面积；（2）求小路AE的长．（答案可含根号）【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高．（1）根据AB和BC算出AC的长，再由AD和CD 的长得出△ACD是直角三角形，分别算出△ABC和△ACD的面积即可；（2）利用三角形面积的两种不同表示方法，即12AB⋅AC=12BC⋅AE可得AE的长．【解题过程】（1）解：∵AB⊥AC，AB=CD=4m，BC=9m，∴在△ABC中，AC=BC2−AB2 =92−42=65(m)，∵CD=4m，AD=7m，∴42+72=652，即：AD2+CD2=AC2，∴∠D=90°，∵空地ABCD的面积=S△ABC+S△ADC ∴空地ABCD的面积=12×AB×AC+12×AD×CD=12×4×65+12×7×4=(265+14)(m2)答：这块空地ABCD的面积为(265+14)m2．（2）在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE即4×12×4×65=12×9AEAE=4659．    答：小路AE的长为4659 m．18．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？（2）这片绿地的面积是多少？【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识．（1）连接AC，求出AB+BC−AC的长即可；（2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形面积公式即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=AB2+BC2=92+122=15(m)，∴AB+BC−AC=9+12−15=6(m)，答：居民从点A到点C将少走6m路程；（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AC=15m，:AD2+AC2=DC2∴ △ADC是直角三角形，∠DAC=90°，∴S△DAC=12AD⋅AC=12×8×15=60(m2)，S△ACB=12AB⋅BC=12×9×12=54(m2)，∴S四边形ABCD=60+54=114m2，答：这片绿地的面积是114m2．19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量∠B=90°，AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这片荒地的面积．【思路点拨】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC即可；（2）用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，根据四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD即可求出答案．【解题过程】（1）解：连接AC，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9m，BC=12m∴AC=AB2+BC2 =92+122 =15(m)即A、C两点之间的距离为15m；（2）在△ACD中，∵CD2+AC2=82+152=172，AD2=172，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×9×12+12×15×8=54+60=114m2．因此该四边形荒地的面积为114m2．20．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且BD=10m．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，（1）求证：△BCD是直角三角形．（2）若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？【思路点拨】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）由BC=8m，CD=6m，且BD=10m．得BC2+CD2=BD2，结合勾股逆定理即可作答．（2）过A作AE⊥BD于点E，结合等腰三角形的性质得BE=DE=12BD=5m，运用勾股定理计算AE=AB2−BE2=12m，再运用割补法进行求面积，即可作答．【解题过程】（1）解：∵BC=8m，CD=6m，且BD=10m．∴BC2+CD2=100m2,BD2=100m2，即BC2+CD2=BD2，∴∠BCD=90°，∴△BCD是直角三角形．（2）解：如图，过A作AE⊥BD于点E，∵AB=AD=13m，BD=10m，过A作AE⊥BD于点E∴ BE=DE=12BD=5m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=AB2−BE2=132−52=12(m)，由（1）得∠BCD=90°，△BCD是直角三角形， ∴ S阴影=S△ABD−S△BCD=12BD⋅AE−12BC⋅CD=12×10×12−12×8×6=60−24=36m2，∴100×36=3600（元）．答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．21．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且AB=100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号．（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？（2）若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积．（1）过点C作CD⊥AB于点D，根据AC，BC，AB的长，可得出AC2+BC2=AB2，进而可得出∠ACB=90°，再结合三角形的面积公式，即可求出CD的长，再和50m相比即可得出答案．（2）设点E，F在直线AB上，且AE=AF=50m利用勾股定理，可求出DE长，进而可得出DF，EF的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论【解题过程】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下∶过点C作CD⊥AB于点D，如下图1所示：∵AC=60cm，BC=80m，AB=100m，602+802=1002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵12AC⋅BC=12AB⋅CD∴CD=AC⋅BCAB=60×80100=48m∵48m