专题18.1 平行四边形性质的综合（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

这是一份专题18.1 平行四边形性质的综合（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题181平行四边形性质的综合压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题181平行四边形性质的综合压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
专题18.1 平行四边形性质的综合典例分析 【典例1】如图，在▱ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，E为射线BA上一点，直线DE与直线AC交于点G，CH⊥DE于H，CH的延长线与直线AB交于点F．（1）当E在线段AB上时，①若∠CDE=30°，CG=2，求▱ABCD的面积；②求证：DG=CF+FG；（2）若HG=HF，FG=2，求DG的长．【思路点拨】（1）①过点G作GP⊥CD，垂足为P，证明△GCP是等腰直角三角形，求出GP=CP=2，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出DG=22，利用勾股定理求出DP=6，进而得到CD=6+2，利用勾股定理即可求出AC=AD=1+3，即可得到▱ABCD的面积；②如图，延长CF交DA的延长线于T，连接FG，利用全等三角形的性质证明DG=CT,FG=FT即可；（2）根据题意可求GH=HF=1，当点E在线段AB上时，根据AD⊥AC，CH⊥DE，HG=HF，AD=AC，可得∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°，进而得到∠DCA+∠ACF=∠CFG+∠ACF，即∠DCT=∠AGF，同理（1）②可证∠ATC=∠AGF，DG=CF+GF=CF+FT，进而得到∠ATC=∠DCT，推出△CDT是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到CH=HT=1+2，即可求出DG=CT=2+22；当点E在射线BA上时，同理证明△CDG是等腰三角形，即可解答．【解题过程】（1）①解：过点G作GP⊥CD，垂足为P，∵ AD⊥AC，AD=AC，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC=∠ACD=45°，∵∠CPG=90°，∴ △GCP是等腰直角三角形，∴CP=PG，∵ CG=2，∴CP2+PG2=CG，∴ GP=CP=2，∵ ∠CDE=30°，∴DG=2PG=22，∴DP=DG2−GP2=6，∴ CD=6+2，∵AC2+AD2=2AD=CD=2+6，∴AC=AD=1+3，∴ ▱ABCD的面积为：AC⋅AD=1+32=4+23；②如图1中，延长CF交DA的延长线于T，连接FG，∵CH⊥DE，∴∠CHD=90°，∵∠CHG=∠DAG=90°,∠CGH=∠AGD，∴∠GCH=∠GDA，∵∠DAG=∠CAT=90°,AD=AC，∴△DAG≌△CAT（ASA），∴DG=CT,AG=AT，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD=90°，∵AD=AC∴AC=BC，∴ ∠CAB=45°，∵ ∠CAT=90°，∴∠GAF=∠TAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△TAF（SAS），∴GF=TF，∴DG=CT=CF+TF=CF+FG；（2）解：当点E在线段AB上时，∵ HG=HF，FG=2，CH⊥DE，∴ GH=HF=1，∵ AD⊥AC，AD=AC，∴ ∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°，∴ ∠DCA+∠ACF=∠CFG+∠ACF，即∠DCT=∠AGF，同理（1）②得∠ATC=∠AGF，FG=FT=2，DG=CF+GF=CF+FT，∴ ∠ATC=∠DCT，∴ △CDT是等腰三角形，∴ CH=HT=1+2，∴ DG=CT=2+22；当点E在射线BA上时，同理得：△ACT≌△ADG，∴∠ATC=∠AGE,AT=AG，∵∠CAB=180°−∠ADC−∠DAC=45°，∴∠CAE=45°，∴∠DAE=45°，∵AF=AF，∴△ATF≌△AGFSAS，∴∠AFT=∠AFG，∵∠AED=∠GEF,∠DAE=∠HGF=45°，∴∠AFG=∠ADE=∠AFT，∵CD∥BF，∴∠AFT=∠DCT，∴∠ADE=∠DCT，∴∠AGE=∠ATC=∠ADC+∠DCT=∠ADC+∠ADE=∠CDG，∴ △CDG是等腰三角形，∵CF⊥DG，∴ DH=HG=1，∴ DG=DH+HG=2；综上，DG长为2或2+22．学霸必刷1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=42，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（   ）A．2B．22C．4D．42【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′，首先利用勾股定理求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．【解题过程】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=42，∴△BAC为等腰直角三角形，∴AC=AB=42，∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=12AC=22，∴OC2=CP′2+OP′2，∵∠ACB=45°，∠OP′C=90°，∴OP′=CP′，∴2OP′2=OC2=8，∴OP′=2，当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，∴PQ的最小值=2OP'=4．故选：C．2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=4，E是边DC延长线上一点，连接BE，△BEF是等边三角形，连接FC，则FC的最小值是（　　）A．3B．2C．6D．23【思路点拨】本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键．在射线CD上取点G，使CG=BC，连接BG，FG，根据平行四边形性质证明△BCG是等边三角形，得到∠CBG=∠CGB=60°，BC=CG=BG=4，根据△BEF是等边三角形，得到BF=BE，∠FBE=60°，得到∠GBF=∠CBE，得到△BCE≌△BGFSAS，得到∠BGF=∠BCE=120°，得到∠FGC=60°，点F在直线FG上运动，当CF⊥FG时，根据含30°的直角三角形的性质得到CF的最小值为23．【解题过程】解：在射线CD上取点G，使CG=BC，连接BG，FG，∵平行四边形ABCD中， BC=AD=4，∠DCB=∠A=60°，∴△BCG是等边三角形，∴∠CBG=∠CGB=60°，BC=CG=BG=4，∵△BEF是等边三角形，∴BF=BE，∠FBE=60°，∴∠GBF+∠CBF=∠CBE+∠CBF=60°，∴∠GBF=∠CBE，∴△BCE≌△BGFSAS，∴∠BGF=∠BCE=180°−∠BCD=120°，∴∠FGC=∠BGF−∠BGC=60°，∴点F在直线FG上运动，当CF⊥FG时，CF最小，此时，∠FCG=90°−∠FGC=30°，∴CF=32CG=23, ∴CF的最小值为23．故选：D．3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，∠BAC=30°，∠CAD=15°，AC=23+2，则BD的长为（    ）A．6+2B．22C．23D．32【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CP⊥AB的延长线于P，由∠BAC=30°可得CP=12AC=3+1，由勾股定理得AP=3+3，由平行四边形性质得BC=AD，∠PBC=∠BAD=45°，进而得到BP=CP=3+1，AB=AP−BP=2，BC=6+2，即可得到AD=6+2，AE=BE=2，即得DE=6，由勾股定理即可求出BD的长，正确作出辅助线是解题的关键．【解题过程】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CP⊥AB的延长线于P，则∠AEB=∠DEB=∠CPA=90°，∵∠BAC=30°，∴CP=12AC=3+1，∴AP=AC2−CP2=23+22−3+12=3+3，∵∠BAC=30°，∠CAD=15°，∴∠BAD=30°+15°=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC=AD，∴∠PBC=∠BAD=45°，∴△BPC为等腰直角三角形，∴BP=CP=3+1，∴AB=AP−BP=3+3−3+1=2，BC=BP2+CP2=23+12=6+2，∴AD=6+2，∵∠BAD=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AE=BE，∵AE2+BE2=AB2，∴2AE2=22，∴AE=BE=2，∵AD=6+2，∴DE=AD−AE=6+2−2=6，∴BD=BE2+DE2=22+62=22，故选：B．4．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF给出下列结论：①∠DCF=12∠BCD；②EF=CD；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．其中正确结论的个数有（   ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出△AEF≌△DMF．由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得∠DCF=12∠BCD，可判断①；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质与判定得出△AEF≌△DMF，可得EF=MF，再证明∠ECD=90°，可判断②；由EF=FM，可得S△EFC=S△CFM，结合MC>BE，则S△BECBE，∴S△BEC