专题18.4 三角形中位线的综合（压轴题专项讲练）八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题18.4 三角形中位线的综合典例分析 【典例1】中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题．如图1，△ABC中，E为BC的中点，AD⊥BC于点D，AB=2DE．求证：∠B=2∠C．分析：由E为BC的中点联想到构造三角形的中位线．如图2，取AC的中点F，连接EF,DF，则EF是△ABC的中位线，则EF∥AB且EF=12AB，从而可得DE=EF．要证∠B=2∠C，只需证∠FEC=2∠C即可．（1）请你根据上边分析，完成证明过程．（2）如图3，在凸五边形ADBCE中，AD=AE，连接AB，AC，CD，AB=BC，∠ABC=∠DAE=90°，点G为CD的中点，连接BG，求证：BG=12CE．（3）如图4，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4，点D为平面内任意一点，且AD=2，连接CD，点G为CD中点，连接BG，当线段BG=3时，直接写出△BCG的面积．【思路点拨】（1）取AC的中点F，连接EF，DF，利用中位线定理可证AB=2EF，根据直角三角形的性质可知DF=CF，再根据三角形外角的性质可证结论成立；（2）延长CB到点M，使CB=MB，连接AM，MD，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知∠CAM=90°，从而可知∠DAM=∠EAC，利用SAS可证△DAM≌△EAC，根据全等三角形的性质可证DM=CE，利用三角形中位线定理可证结论成立；（3）延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，构造等腰直角三角形，本题要分当点D在线段AC上和点D在线段CA的延长线上两种情况求解．【解题过程】（1）证明：如下图所示，取AC的中点F，连接EF，DF，∵点E为BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB且AB=2EF，∵ AD⊥BC于点D，∴∠ADC=90°，∴DF=AF=CF=12AC，∴∠FDC=∠C，又∵AB=2DE，∴DE=EF，∴∠DFE=∠FDC=∠C，∴∠FEC=2∠FDC=2∠C；（2）证明：如下图所示，延长CB到点M，使CB=MB，连接AM，MD，∵∠ABC=90°，CB=MB，∴AM=AC，∴∠AMC=∠ACM=45°，∴∠CAM=90°，又∵∠DAE=90°，∴∠CAM=∠DAE，∴∠DAM=∠EAC，在△DAM和△EAC中AD=AE∠DAM=∠EACAM=AC，∴△DAM≌△EAC，∴DM=CE，∵点G是BC的中点，点B是MC的中点，∴BG=12MD，∴BG=12CE；（3）解：①如下图所示，当点D在AC上时，延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°，又∵PB=BC=4，∠ABC=90°，∴AP=AC，∠APC=∠C=45°，∴∠PAC=90°，∵PC=2BC=8∴AP=AC=42，在Rt△APD中，PD=AP2+AD2=422+22=6，∵点G为CD中点，点B为PC的中点，∴BG=12PD=3，∵DC=AC−AD=42−2，∴DG=GC=12DC=22−1，过点B作BH⊥AC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BH=12AC=22，∴S△BGC=12CG·BH=12×22−1×22=4−2；②如下图所示，当点D在CA延长线上时，延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，由①可得：DC=AC+AD=42+2，∴DG=GC=12DC=22+1，过点B作BH⊥AC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BH=12AC=22，∴S△BGC=12CG·BH=12×22+1×22=4+2，综上所述△BCG的面积为4−2或4+2．学霸必刷1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=25，CD=23，∠ABD=30°，∠BDC=120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（   ）A．22B．23C．5D．72．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AB=63，点E为斜边AC的中点，点D在边BC上，且CD=4．点P为线段AB上的动点，则PD+PE 的最小值为（　　）A．213B．43C．313D．413．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=120°，AC>BC>6，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE=BF=6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为（   ）A．23B．32C．52D．34．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为HG的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（    ）A．1B．3−1C．32D．2−35．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，等边△ABC中，点D、E分别为CA、CB的延长线上，且BE=CD，O为BC的中点，M为DE中点，OM=3+32，AD=1，则AC的长（    ）A．1.5B．3C．2.5D．3+16．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②FH=12FD；③S△EFD=12S△ACD．上述结论中正确的有（    ）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若PD=1，则QE= ．  8．（2025·山西朔州·一模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是BC的中点，点E是CA延长线上一点，连接EB,ED,AB与ED相交于点F．若AE=CD，则DF的长为 ．9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=22，D是边AC的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 ．10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边△ABC中，AB=4，E、F分别是边AB、AC上的动点，且BE=12CF，则BF+2CE的最小值为 ．11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=60°，射线BD是∠ABC的角平分线，交AC于点D，过点A向射线BD作垂线，垂足为点F，作AC边上的垂直平分线，交AB于点G，交AF于点H，垂足为点E，连接FE，若AG长为43，则EF的长为 ．12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD，若∠EFC=60°，DG=3，AC=5，则△ABC的面积为 ．13．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝122，CB＝28，点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．14．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等边△ABC中，BC=9，点D是边BC上一点，且BD=6，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则AD= ；点F是AD的中点，连接CF，过点F作FG⊥CF交DE于点G，则FG= ．15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点B为线段AC上任一点，F为AC中点，分别以AB，BC为边向AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点M，N分别为AD，EC的中点，连FM，FN．（1）当B点在AC上运动时，①求证：FM=FN；②求∠MFN的大小．（2）若AB=4，BC=6，则直接写出FM的长．16．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形ABCD中，BD是对角线，过点B作AD、CD的垂线，垂足点E在AD边上，垂足点F在CD延长线上，∠A=45°，AB=6，DF=2．（1）如图1，求△BDF的面积；（2）如图2，连接EF，点G是EF的中点，求BG的长；（3）如图3，BF与AD交点为P，∠MBN=45°，∠MBN的两边BM，BN分别与AD，CD所在直线交于点M、N，∠MBN绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段BN中点H的运动路径长．17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF．  图1                                    图2（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 ；（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC=10，DC=6，求线段GH的最大值与最小值．18．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB=8，AC=6，E为BC中点，求AE的取值范围．（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=8，CD=6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为_________．（4）如图④，在△ABC中，∠A=60°，AB=8，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF=______．19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点D是△ABC的边AB上一点（ADAB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状，请直接写出结论．（4）如图④，四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB=5，CD=12，EF=132，试求∠BMF+∠CNF的度数．24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC中∠B=∠C=α，（0°