高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案设计

第二章 直线和圆的方程

2.5.2 圆与圆的位置关系

教学设计

教学目标

1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.

2.能用圆的方程解决一些简单的问题.

3.进一步体会用代数方法处理几何问题的思想方法.

教学重难点

教学重点：圆与圆的位置关系.

教学难点：圆的方程的应用.

教学过程

新知积累

圆与圆的位置关系

两圆相交，有两个公共点；

两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；

两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.

例题巩固

例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.

解法1：将圆与圆的方程联立，

得到方程组，

①-②得

由③得.

把上式代入①，并整理得.④

方程④的根的判别式，

所以方程④有两个不相等的实数根.

把分别代入方程③得到.

因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.

解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.

把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.

圆与圆的连心线的长为.

圆与圆的两半径之和，两半径长之差.

因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B.

例2 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.

解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得，.

设点M的坐标为，

由，得，

化简得，即.

所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.

因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，

又，所以点M的轨迹与圆O相交.

课堂练习

1.圆和圆的位置关系是(   ).

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

答案：B

解析：由题可知圆心，，半径，，因为，所以两圆相交.故选B.

2.已知圆与圆相外切，则m的值为(   ).

A.3 B.4 C.5 D.6

答案：A

解析：由圆，可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，又圆与圆相外切，则，解得.故选A.

3.已知圆，圆，则两圆的公切线条数是_________.

答案：2

解析：由，得，可得圆的圆心坐标为，半径为3，由，得，可得圆的圆心坐标为，半径为2，所以两圆的圆心距，则，故两圆相交，其公切线的条数为2.

小结作业

小结：本节课学习了圆与圆的位置关系.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

2.5.2 圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系：

（1）两圆相交，有两个公共点；

（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；

（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.