初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第4课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第4课时教案，共5页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
完全平方公式是整式的乘法公式之一，掌握完全平方公式，可以更简便地进行整式的乘法运算，更好地解决问题。完全平方公式的学习建立在学生对数的运算、整式的加减法、整式的乘法运算法则学习的基础上，是后续学习一元二次方程和二次函数的基础。
作为乘法公式的第4课时，学生已经探索出平方差公式和完全平方公式，并会进行简单的计算和推理，本课时的主要内容为公式的三个应用，即运用公式进行简便运算、混合运算以及代数推理，从而加深对公式的理解。本课时通过复习平方差公式的知识结构引出本节课的内容，让学生在原有的知识结构上类比构建新的知识结构，从而培养学生类比探究的能力。在教学过程中让学生先独立思考、主动探索，再相互交流，鼓励学生探索不同的算法，引导学生选出最优算法。
二、学生起点分析
在七年级上册，学生学习了数的运算、字母表示数、整式的加减等内容，具备了由数的运算转化为式的运算的知识基础。类比有理数运算学习整式的运算是本章的重点，在本章前几节中，学习了幂的乘除、整式的乘法，在本节，探索了平方差公式、完全平方公式，分析了其结构特征，从数和形两方面验证了公式，为本节课巩固和运用公式奠定了基础。
在平方差公式的学习过程中，学生经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动经验，具备一定的符号感和推理能力；同时，在以前的数学学习中学生经历了很多探究合作学习的过程，具备一定的探究意识和合作交流的能力。
三、教学目标
1.进一步理解平方差公式和完全平方公式。
2.综合利用平方差公式和完全平方公式进行计算和推理。
教学重点：综合运用平方差公式和完全平方公式进行计算、解决简单问题。
教学难点：在多种算法中引导学生选出最优算法。
四、教学过程设计
本节课设计六个教学环节：【第一环节】知识回顾，结构关联；【第二环节】直接引入，尝试探究；【第三环节】例题详析，综合运用；【第四环节】观察思考，解决问题；【第五环节】总结提升，纳入系统；【第六环节】因材施教，分层作业。
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
（1）前面我们学习平方差公式时是怎样学习的？
（2）上节课我们推导出完全平方公式，了解了其几何背景，并进行了简单的计算，你认为接下来我们会研究什么内容呢？
2.活动目的
这是两个结构化的问题，意在让学生类比平方差公式的学习，自主提出接下来要研究公式的应用，并思考有哪些应用，形成研究内容和研究思路的整体架构。对这一问题的思考，有助于学生对相关内容形成结构化认识，提高对知识和方法的应用和迁移能力。
3.实际效果
教学时，对于第一个问题，学生可能回答得不完整，教师要让学生进行充分的交流和表达，引导学生梳理出平方差公式的知识结构。在此基础上，学生能较容易地类比平方差公式的知识结构回答出第二个问题。让学生体会数学知识与方法之间的联系，帮助学生对相关内容逐步形成结构化认识。
【第二环节】直接引入，尝试探究
1.活动内容
怎样计算，更简单呢？请独立想一种方法，然后再与同伴进行交流。
2.活动目的
运用完全平方公式进行有关数的简便运算，让学生进一步体会完全平方公式在实际中的应用，并通过练习加以巩固。让学生独立思考，意在培养学生的发散思维。
3.实际效果
学生先独立思考，再全班交流，教师应该鼓励学生探索不同的算法。计算时学生可能会利用乘法分配律进行简便运算：
。
如果学生没有利用完全平方公式，教师可以适时引导：能否把转化成或者是的形式，怎样确定公式中的？从而得到应用完全平方公式进行简便计算的思路，学生板演计算过程：
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根据前面的启发，学生能独立完成的简便运算过程，一名学生板演，其他学生进行评价，发现自己或同伴的问题，进行订正，规范步骤：
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【第三环节】例题详析，综合运用
1.活动内容
计算：（1）； （2）；
（3）； （4）。
2.活动目的
让学生进一步熟悉平方差公式和完全平方公式的运用，同时体会公式中字母的广泛性：可以是数，也可以是单项式或多项式。学生学会在一题多解的情况下选择最优算法，体会整体思想。
3.实际效果
学生独立观察、分析式子的结构特征，探究解答方法。四个学生先板演四个题目的解答过程，再全班交流，其他学生补充不同的解法，教师应该鼓励学生探索不同的算法。对于问题（1），学生可能想到的解法有直接利用完全平方公式进行计算和逆用平方差公式计算；对于问题（2），学生可能会直接利用多项式的乘法解答，或者把一个整体，然后利用平方差公式解决，教师总结整体思想的运用；问题（3）可以直接利用完全平方公式和多项式乘法解决，计算过程中，学生容易出现符号问题，教师要提醒学生注意减法后面的乘积是一个整体，注意添加括号。问题（4）可以先用平方差公式，再用完全平方公式解决，较为简单，但学生也可能先用积的乘方，再用完全平方公式和平方差公式解答，较为复杂，教师应引导学生选择较为简洁的方法。
【第四环节】观察思考，解决问题
1.活动内容
观察·思考
问题1：观察下图，点阵中的点数与点阵、点阵中的点数之和是否相等？
点阵中的点数与点阵、点阵中的点数之和相等吗？
问题2：你认为点阵中的点数与点阵、点阵中的点阵之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
思考：与、与有什么关系？
2.活动目的
通过观察图形探究两个问题，让学生体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法，层层递进，适合学生的思维梯度。学生通过自主探究和交流巩固完全平方公式，同时进一步理解、、的关系，发展代数推理意识和能力。
3.实际效果
问题1，学生可以直接回答，对于第一个问题，学生通过观察图形发现合并前后人数不一样，直接得到否定答案；对于第二个问题，学生可以自主画图，也可以通过计算合并前后人数不同得出答案，这两种方法教师都应给予肯定。问题2，学生先独立思考，然后小组讨论，大胆发表自己的见解，学生首先通过同底数幂的乘法法则，把三个点阵的点数表示为和，，然后再用完全平方公式计算，从而得到答案不一样多，且比多。问题1的图形让学生直观感受，问题2让学生从代数的角度去验证。思考题学生先独立思考，再交流自己的结论和理由，有能力的同学可以用图形解释自己的结论，充分体现数缺形时少直观，形少数时难入微。
【第五环节】总结提升，纳入系统
1.活动内容
（1）本节课我们学习了哪些内容？乘法公式有哪些？
完全平方公式的运用。完全平方公式和平方差公式。
（2）在混合运算中应注意什么？
①公式中的字母，既可表示一个数，也可表示一个代数式，所以要适当地添加括号；
②要注意运算顺序和符号。
（3）本节课体现了哪些数学思想的应用？
类比思想、数形结合、整体思想。
2.活动目的
总结与梳理是学习过程中必不可少的一个环节，学生通过总结与反思，梳理自己的收获，提出自己的疑惑，发表自己的观点，养成良好的学习和思考习惯。
3.实际效果
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获：学习完全平方公式的结构时，要注意认识与的区别和联系；可以运用完全平方公式进行简便运算，在混合运算时有的可以直接用公式计算，有的是需要变形后用公式计算，有的只能用多项式乘法法则计算，学生结合具体的题目谈自己的感受，教师应给予总结，进一步明确所涉及的数学思想方法。
【第六环节】因材施教，分层作业
1.活动内容
必做题：习题1.3第5，7，8，11，12题。
选做题：习题1.3中第13题，并将13题的乘法算式用几何图形进行直观解释。
2.活动目的
继续巩固完全平方公式的三个应用，将两项和的平方拓展到三项和的平方，让学生体会整体思想，培养学生的类比推理能力和几何直观，供学有余力的学生尝试解决，为不同水平的学生提供发展的空间和可能。
3.实际效果
学生可以根据自己的学习情况，自主选择是否挑战选做题。
五、教学反思
1.类比思想可以使学生知识结构化、体系化
本节课通过回顾平方差公式的知识结构引入本节课的内容，既体现了单元教学的结构化，又发展了学生的类比探究能力。
2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在学生已经学习了完全平方公式的前提下，本节课首先给学生应用公式解决问题的机会，并且在此过程中教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及知识掌握的薄弱之处，以便指导今后的教学。课堂上应把激发学生学习热情和培养学习能力放在教学首位，通过运用多样化的启发性和激励性语言，以及组织学生小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3.需要提升和改进的方面
本节课的知识相对都比较基础，在拓展提升方面还不够充分，比如只对完全平方公式中的与的关系进行了图形验证，如果学生的学习能力较强，可以继续深入研究与、与的关系，让学生自主结合图形解释，发展学生的几何直观。