七年级下册（2024）幂的乘除第4课时教学设计

这是一份七年级下册（2024）幂的乘除第4课时教学设计，共7页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
幂的乘除运算是整式整除运算的基本内容之一。幂的乘除运算是学生掌握了有理数的运算，以及整式的加减的基础上学习的，是后续学习整式的乘除运算的基础。
作为幂的乘除的第4课时，本课时的主要内容是探索并掌握同底数幂除法的性质，了解负整数指数幂和零指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数。类比前面有关幂的乘法运算性质的学习，本节课也需要学生进行观察、猜想、归纳、概括等数学活动，经历由特殊到一般的推理过程，理解运算性质及其道理。本课时也是从科学情境的问题中抽象出研究对象——同底数幂的除法，然后给出一组同底数幂的除法算式让学生根据乘方的意义自主探索同底数幂的除法运算结果，逐步将底数和指数抽象为一般化，并让学生观察运算前后的形式变化，归纳出同底数幂的除法运算性质。为满足除法运算性质，引入了零指数幂和负整数指数幂的表示方法，继而将同底数幂的乘法和除法运算性质，由正整数扩充到整数，为后续整式的乘除法的学习奠定基础。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：在七年级上册学习了有理数运算和整式的加减，理解了正整数指数幂的意义，并会用科学记数法表示大于10的数。第1节幂的乘除的前3个课时学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种幂的运算，会用幂的乘法（乘方）运算性质进行计算并解决一些实际问题，具备了类比有理数的运算进行整式运算的知识基础。理解和运用幂的运算性质不是学生学习的难点，需要注意的是在计算时学生容易混淆这四种幂的运算，可以通过分析算理和练习对比，帮助学生提高认识。
学生活动经验基础：在探索前面三种幂的运算性质的过程中，学生已经历了由特殊到一般的归纳过程，并能用幂的意义加以说明，具备了一定的推理能力和表达能力，为本节探索同底数幂的除法积累了充足的活动经验。在七年级上册的学习中学生已经感受到了用科学记数法表示绝对值较大数的简便性，这就为本节课表示和感受绝对值较小的数、进一步发展数感奠定了活动经验基础。因此本节同底数幂的除法性质的探索对学生而言并不困难，教学时可以放手让学生自主进行。此前学生只接触过正整数指数幂，因此对零指数幂和负整数指数幂意义的理解是本节课的难点，教学时可以通过问题设计，让学生经历观察、归纳、猜想、解释的过程来加深理解。
三、教学目标
1.能类比同底数幂乘法性质的学习过程，根据乘方的意义，通过观察、猜想、归纳、概括得到同底数幂除法的运算性质，体会从特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和推理能力。
2.掌握同底数幂除法的运算性质，会进行同底数幂的除法运算，并解决一些简单的实际问题，发展运算能力。
3.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值小于1的数，体会数学在生活中的应用。
教学重点：探索并掌握同底数幂的除法运算法性质，会用科学记数法表示绝对值小于1的数。
教学难点：了解零指数幂和负整数指数幂的意义。
四、教学过程设计
本课时设计了六个教学环节：【第一环节】知识回顾，结构关联；【第二环节】创设情境，提出问题；【第三环节】自主探究，归纳概括；【第四环节】拓展探究，深化应用；【第五环节】总结反思，知识重构；【第六环节】因材施教，分层作业。
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
提出问题：
在前几节课我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种运算，你认为接下来对于幂的运算我们再研究什么呢？
2.活动目的
这个问题是可持续性思考的结构化问题，目的是让学生类比幂的乘法运算的学习，自主提出接下来要研究的幂的除法运算，并思考研究的思路和方法，形成研究内容和研究思路的整体架构。通过思考这个问题，强化学生对相关内容的结构化认识，提高对知识和方法的应用和迁移能力。
3.活动注意事项
教学时，根据学生回答继续追问几个更深入的问题，如“猜想幂的除法运算的形式有哪些呢”，让学生充分交流和表达，体会数学知识与方法之间的联系，帮助学生对相关内容逐步形成结构化的认识，并渗透从简单形式的运算入手学习的思路。提问时注意尽可能多地选择学生，让学生多参与回答，如果回答得不规范，可以追问或让学生互相提示。
【第二环节】创设情境，提出问题
1.活动内容
情境问题：一种液体每升含有1012个有害细菌。为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死 109 个此种细菌。要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？你是怎样计算的？
你能再举几个类似的算式吗？
2.活动目的
从“试验某种灭菌剂”这个科学情境出发，引导学生在列式计算时抽象出1012÷109，进一步鼓励学生自主思考，引导学生运用乘方的意义，得到1012÷109的运算结果，为下一步归纳同底数幂除法的性质作好方法的铺垫。
3.活动注意事项
通过问题情境引出研究对象1012÷109后，可以提出如下问题串：这个算式是我们之前学习的哪种运算？具有怎样的特征？你是怎样进行运算的？你的运算依据是什么？要让学生观察这个运算的形式特征，并总结出这是幂的除法运算，它们的底数相同，都是10，学生可能有很多不同的发现，这时要让学生大胆表达自己的观点，教师及时引导。
【第三环节】自主探究，归纳概括
1.活动内容
尝试·思考
（1）计算下列各式，并说明理由（m，n都是正整数，且m＞n）。
①； ②； ③ 。
（2）如果m，n都是正整数，且m＞n，那么am÷an等于什么？你是怎么得到的？
【例5】计算：
①； ② ； ③； ④。
2.活动目的
（1）“尝试•思考”（1）第①题，是以10为底的幂的除法，通过对此题的探究让学生进一步理解同底数幂除法的原理是利用了乘方的意义和有理数除法的运算律，通过观察运算前后底数和指数的变化猜想运算规律。第②③题则将幂的指数用字母代替，实现了对指数由特殊到一般的抽象。“尝试•思考”（2）给出的问题探究，是对同底数幂除法的运算性质的推理说明，引导学生从符号表示和数学语言两方面进行归纳，发展学生用数学语言表达结论的能力。
（2）例5是对同底数幂的除法运算性质的直接应用，巩固性质。①的指数是数字，②的底数带负号，③的底数是乘积的形式。由简单到复杂，理解性质中的底数可以是单独的一个字母，也可以是一个式子。④的指数是多项式，从数字指数到式子指数，在感受同底数幂的除法运算性质的便捷的基础上，对性质中的关键词“同底数”和“指数相减”的理解更加准确，体会整体思想的运用，积累经验。④的运算结果是b2m，为探究指数能否为零埋下伏笔。
3.活动注意事项
本环节在自主探究的前提下，可以开展小组交流，要引导学生在交流前要有思考，思考的问题为同底数幂相除如何进行运算？运算的算理是什么？在交流中也要思考，思考的问题是观察运算前后形式的变化规律，体现探究活动的闭环特征，通过比较后，用简洁的方式进行表达，有助于运算性质的归纳。
例5鼓励学生说出每一步的理由。②③根据混合运算的顺序，学生可能会出现先乘方后除法的现象，教学中不要急于否定，可以通过幂的意义进行引导。③在同底数幂除法计算后增加了积的乘方的运算，教学中要防止学生出现漏算的情况。④的结果b2m可以借机提出：这里m可以等于零吗？在教学中鼓励学生说出自己的猜想，简单说明理由。
【第四环节】拓展探究，深化应用
1.活动内容
思考·交流
①计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5。
②要使得m＝n或m < n时，a m÷ a n = a m－n（a≠0，m，n 都是正整数）仍然成立，那么①中各式的结果用幂的形式又该如何表示？
③比较①②各式的对应结果，你有什么发现？与同伴进行交流。
【例6】用小数或分数分别表示下列各数：
①10－3； ②7 0×8-2； ③ 1.6× 10-4。
尝试·思考
有的细胞直径只有 1 微米（μm），即 0.000001m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），即0.000000001s；
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657 kg。
你能用负指数表示这些数吗？
②用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数），可以很方便地表示一些绝对值较小数，你能用科学记数法表示“尝试·思考”中的这些数吗？
③大于-1的负数也可以用科学记数法表示吗？例如-0.00000256，能否用科学记数法表示呢？
2.活动目的
（1）“思考·交流”①通过特例对这一问题利用幂的意义进行探究，在实例选取上由数字底数到字母底数，由具体到抽象，理解m＝n或m < n可以进行幂的除法运算。“思考·交流”②假设m＝n或m < n，同底数幂的除法运算性质依然成立，利用同底数幂的除法运算性质说明零指数幂和负指数幂的合理性。对比①②两种方式计算的结果，与同伴进行交流，分别从幂的意义，除法性质两方面突破学生对零指数幂和负指数幂意义的理解。发展学生的推理能力。有了这个规定后再思考之前学过的运算性质，将同底数幂的乘除运算性质中的指数由正整数扩大到全体整数，体现了知识的完整性。
（2）例6是零指数幂和负指数幂这一规定的直接应用。第①题底数为10的负指数，体会负指数与小数之间的关系。第②题是零指数幂与负指数幂的积，是乘法和乘方的混合运算。扩大了有理数乘方运算的范围。第③题是有理数与底数为10的负指数的积，体会小数和负指数之间的关系。为用科学记数法表示绝对值小于1的数作铺垫。
（3）“尝试·思考”用生物学中的细胞直径计算机的运算时间，化学中的氧原子质量让学生感受到较小的数在生活中的应用，用负指数表示这些数时，比用小数简洁明了。让学生体会用科学记数法表示这些较小数的必要性。为学习科学记数法作铺垫。回顾科学记数法表示较大的数，启发学生用类比的方法，将其扩大到较小的正数。在理解科学记数法的基础上，再将应用扩大到负数范围，让知识的结构更加完整。
3.活动注意事项
（1）“思考·交流”①②鼓励学生独立思考完成，教学中可针对学生出现的问题进行有针对性的提示，提示用乘方的意义进行解答。“思考交流”③在对比中发现零指数幂和负指数幂的规定。可以提出思考性的问题：在任何情况下，这一结论都成立吗？并请说明理由。引发学生的深度思考，思考后小组交流。在教学中，如果学生忽视了零指数幂中底数不为零这一条件，教师可以将其以问题的形式提出，引导学生思考。得出这一规定之后，通过问题引导，让学生关注知识的完整性。
（2）例6要求学生写出运算过程，在教学中关注并强调公式的正确运用。第①③小题的运算结果建议学生用小数表示。在第③小题的运算过程中，可以让学生说一说1.6×0.0001的小数位是如何确定的？在这类计算中有技巧吗？如果教学时间充裕，可再举一到两个类似的例子，让学生作答。学生在用负数表示这些数时，可能会出现10－6，10－9，2657×10－29，教学中应予以肯定。学生在表示0.000000000000000000000000026 57可能存在困难，在教学中可以先让学生表示稍微简单的数，再逐步增加难度。用科学记数法表示这些数时，教师要引导学生关注科学记数法的形式、a的取值范围。通过问题“在用科学记数表示较小的数时，你是通过什么方法确定指数的？”让学生交流分享经验，归纳出常用的方法。例如，数零的个数时要从头开始直到第一个非零的数，小数点移动的位数等。
【第五环节】总结反思，知识重构
1.活动内容
（1）幂的乘除运算包括哪些内容？说说它们之间联系与区别。
（2）回顾探索幂的乘除运算的学习，你是怎样得到这些运算性质的？
（3）请用自己的方式梳理幂的乘除运算。
2.活动目的
（1）将同底数幂的除法性质与之前学习的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方之间形成知识建构，有助于知识的理解与知识体系的形成。
（2）通过对学习过程的反思，积累由特殊到一般和类比等思想方法的经验，利用乘方的意义探究整式中幂的运算，感受知识之间的联系，体会知识的结构化。
（3）用自己的形式梳理本节的知识，形成知识体系，完成知识的建构。
3.活动注意事项
在教学中，鼓励学生表达自己的想法。在对比幂的四种运算之间的联系和区别时，可以让学生结合实例进行说明。总结研究方法的时候，学生的表述可能不准确。在教学中可以由教师带领学生回忆的方式，总结出由特殊到一般和类比的思想方法。启发学生思考学习新知识时要与旧知识进行联系，用迁移的方法学习新知。在梳理本节知识的过程中，教师可以通过知识结构图或者思维导图的形式帮助学生建构知识。
【第六环节】 因材施教，分层作业
1.活动内容
（1）必做题：习题1.1第7，8，9，12题。
（2）挑战题：已知ax＝－2，ay＝3，求a3x-2y的值。
2.活动目的
（1）必做题对同底数幂的除法的运算性质以及科学记数法的应用。巩固运算性质和科学记数法，提高学生的运算能力和应用意识。
（2）挑战题是对幂的乘法和同底数幂的除法运算性质的逆向应用，综合性较强，不仅有利于巩固学生对运算性质的理解，也有助于培养学生的推理能力。灵活应用运算性质是解决本题的关键。设计本题是为了拓展学生思维，供学有余力的学生解决。
3.活动注意事项
必做题由学生独立完成，如果学生出现错误让他们说出错误的原因，帮助学生形成总结反思的好习惯。挑战题，教学中可以让学有余力的学生思考解决，鼓励这部分学生以学习小组的形式交流讨论。
五、教学反思
1.注重知识的结构化学习
在本节课的教学设计中让学生自主探索同底数幂的除法运算性质，在多个环节中类比“数”来解决“式”的问题；将新学的同底数幂的除法运算性质和前面三种幂的运算性质扩大到整数指数幂的范围。类比科学记数法在较大数中的应用，扩大到较小的数以及整个有理数范围。通过总结反思，将幂的运算之间的关系进行梳理，总结研究幂的运算的方法，有利于学生知识体系的形成，通过梳理本节知识，有利于学生形成知识的结构化。
2.注重教学评一致性
本节课的教学设计围绕着学习目标展开。通过回顾幂的乘法运算以及学习历程为本节课学习提供方法依据，通过“尝试·思考”，让学生在已有的经验基础上自主探索同底数幂的除法性质。体现以学为中心，通过学生的思考交流表达评价学生对学习目标1的达成情况。通过例5的巩固，有利于学生理解运算性质，并能用运算性质解决简单问题。通过学生完成的情况评价学习目标2的达成情况。通过“思考·交流”和“尝试·思考”在问题启发和类比探究中理解零指数幂和负指数幂的意义，会用科学记数法表示较小的数。在活动中，通过学生的表达情况以及答题的正确率评价学习目标3的达成情况。