北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
平方差公式是学生在已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法的典型范例。对它的学习和探究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了研究思路和研究方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。
上节课学生经历了平方差公式的探索过程，通过观察、计算、归纳出了平方差公式，并能够运用平方差公式进行简单计算。作为本节的第2课时，其主要任务是引导学生了解平方差公式的几何背景，进一步深化对平方差公式的理解，利用公式进行简便运算、综合运算及代数推理，为完全平方公式的学习积累经验。
二、学生起点分析
学生通过前面的学习，已经经历了探索和代数法推导平方差公式的过程，对平方差公式的结构有了充分的认识和理解，并能利用公式进行简单的计算，同时前面有理数运算、整式运算等基础知识及基本技能的学习，为本节课的学习奠定了基础。本章整式乘法法则的学习和有关习题训练过程发展了学生的几何直观，为本节课学习作铺垫。学生较缺乏对平方差公式的变式应用能力和综合运用能力，且不了解平方差公式的几何背景。
学生在前面的学习中，已经经历了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，具备了一定的符号意识、自主探究意识、推理能力，以及与同伴合作交流的能力。整式乘法中对运算法则的几何解释、前期图形的剪拼活动、数形结合思想的渗透等，为本节课的探究活动奠定了知识、经验基础。
三、教学目标
1.理解平方差公式，能利用公式进行简单的计算和推理。
2.了解平方差公式的几何背景，发展几何直观。
教学重点：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算、解决简单问题。
教学难点：从数和形两个角度认识平方差公式。
四、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节。【第一环节】知识回顾，结构关联；【第二环节】合作学习，探究发现；【第三环节】典例分析，内化结构；【第四环节】课堂小结，复盘提能；【第五环节】因材施教，分层作业。
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
（1）回顾上节课平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 。
公式的结构特点：左边是两数和与这两数差的积，右边是两数的平方差。
注意事项：①字母a，b可以是数，也可以是整式；
②注意计算过程中的符号和括号。
（2）类比整式乘法的学习，我们上节课从代数角度观察、计算、归纳得出了平方差公式，本节课将学什么呢？
2.活动目的
第一个问题回顾上节课所学：平方差公式的结构特征、注意事项，加深学生的印象；第二个问题从学生的最近发展区出发，提出结构性的、可持续性的思考问题，让学生自主提出本节课的学习内容，形成研究内容和研究思路的整体架构。对这一问题的思考，有助于学生对相关内容的结构化认识，提高对知识和方法的应用和迁移能力。
3.实际效果
在回顾环节，学生能顺利说出公式及特点，还能说出应用平方差公式的注意事项：
（1）字母a，b可以是数，也可以是整式；
（2）注意计算过程中的符号和括号。
对于接下来要学习的内容，有的学生能够说出对平方差公式进行几何验证。教师不必急于进行新内容的教学，而应继续追问：“你打算如何展开研究呢？”让学生充分交流和表达，体会数学知识与方法之间的联系，帮助学生对相关内容逐步形成结构化的认识。
【第二环节】合作学习，探究发现
1.活动内容
小组合作，按照提示进行剪拼活动，自主探究。活动任务及要求如下。
（1）可利用工具：多张边长为a，b的长方形纸片，剪刀，胶带，彩笔。
（2）利用手中的工具，通过画一画、剪一剪、拼一拼、算一算，验证平方差公式。
2.活动目的
本环节通过几何拼图，让学生了解平方差公式的几何背景，引导学生在拼图和计算过程中发现规律，并验证自己的猜想，从而对平方差公式有一个直观的感受和认识。本环节通过拼图操作让学生经历动手、观察、交流、分享的过程，倡导思维和算法的多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化和数形结合的数学思想。
3.实际效果
学生能够主动地去寻找解决问题的方法，根据图形的拼接原理，利用剪拼前后面积相等，得到等量关系，进而化简得到平方差公式。各小组的方法多种多样：在边长为a的正方形纸片上剪去边长为b的正方形，并将剩余部分拼成长方形，利用两种方法表示剩余部分面积，得到平方差公式；在边长为a的正方形纸片上剪去边长为b的正方形，并将剩余部分拼成梯形，利用两种方法表示剩余部分面积，得到平方差公式；在边长为a的正方形纸片上剪去边长为b的正方形，并将剩余部分拼成平行四边形或长方形，利用两种方法表示剩余部分面积，得到平方差公式；剪完不拼图，直接利用割补法计算图形的面积。此环节没有限制剪拼的方式，学生可以从边长为a的大正方形纸片内部剪去边长为b的正方形，通过拼图、计算或利用割补法计算面积的方式，从而得到平方差公式。教师应根据学生的具体情况，给予适当的肯定。
【第三环节】例题解析，内化结构
1.活动内容
例1 用平方差公式进行计算：
（1）103×97；（2）118×122。
例2 计算：
（1）a2(a+b)(a -b)+a2b2 ； （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)。
观察▪思考
（1）计算下列各组算式：
7×9= 11×13= 79×81=
8×8= 12×12= 80×80=
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？
（3）请用字母表示你发现的规律。
2.活动目的
（1）例1需要运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，意在让学生体会到利用公式可以进行一些有关于数的简便运算，目的是进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用。
（2）例2需要运用平方差公式，进行简单的混合运算，意在让学生巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用。这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生的基本运算技能，设计必要练习，使学生准确地运用平方差公式，并能明白每一步的算理，提高综合运用公式的能力。
（3）以问题串的形式推进学生的观察与思考，通过特例进行归纳，建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要数学探索过程。这个过程包括问题的符号表示和依据法则的符号运算，学生通过观察·思考（1）中各组算式的特点，提出猜想，并利用字母表示出这一猜想(a-1)(a+1)=a2-1，然后利用平方差公式计算得到(a-1)(a+1)=a2-1，从而验证猜想的正确性。这一过程让学生体会到符号运算对证明猜想的作用，以及代数运算在推理中的作用。
3.实际效果
（1）在已有的知识的基础上，经过题目提示，大部分学生能够运用平方差公式简便运算。教师要规范运算过程，引导学生思考算式中与公式中的字母a，b相对应的分别是什么，经过一系列的计算、思考，帮助学生解决生活中常见的数的计算问题，体会数学的现实意义，并在运用平方差公式过程中，进一步体会平方差公式在简化数的计算过程中的价值。
（2）学生能根据平方差公式的形式，在混合运算中，灵活运用公式简化运算，但有的学生出现知识混淆，或运算顺序混乱等问题，有的学生出现符号错误等问题，教师在引领计算过程中，应力求让所有学生明白每一步的算理，做到步步有据。
（3）学生能够利用小学时已有的数的计算经验，给出多种关于这组算式的解释：①连续两个奇数的乘积等于其中间偶数的平方；②两个算式对应位置因数差1，结果也差1。学生能利用字母表示数的知识，将发现的规律进行符号表示，教师对此应给予肯定。结合本节课所学，师生达成共识，即利用平方差公式表达这组算式的等量关系更简便，进而让学生体会到平方差公式在数的计算中的简便性。整个环节循序渐进，符合学生的认知规律。
【第四环节】课堂小结，复盘提能
1.活动内容
通过思维导图等形式结构化复盘本节课所学的平方差公式的结构特征、应用，以及与多项式乘多项式的区别和联系；同时回顾整节课从“明确问题—明确研究方法—归纳公式—应用”的一般研究过程和基本数学思想方法。
（1）平方差公式主要有哪些应用？
（2）你对平方差公式有哪些认识？请用结构图说明。
2.活动目的
在课堂小结环节，引导学生对知识点进行回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的困难和经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，全班交流，一起讨论、解决，从而达到巩固所学知识的目的。
3.实际效果
学生能够清晰地说出本节课的知识、方法、思想，并感受到了数学的现实价值，体会到数学来源于生活，服务于生活，激发对数学的兴趣。
【第五环节】因材施教，分层作业
1.活动内容
必做题：习题1.3第2，6题。
选做题：（1）习题1.3第10题。
（2）计算：(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)。
实践题：在数学史上，古人用自己的智慧发现、验证了平方差公式，请大家搜集资料，整合图片及资料，形成作品并进行展示。
2.活动目的
设置层次分明的练习，在巩固知识的基础上，发散学生思维。数学教学应联系实际活动，因此，设置实践题目，意在使学生自主了解数学发展史、数学文化，增强学生的创新意识和应用意识，并在此过程中获得数学学习的情感体验，感受数学的力量和魅力。
3.实际效果
对于教材中的必做题，学生能够准确地进行作答；对于拔高题，有的学生能够顺利解决，其他学生需要通过引导进行求解；对于实践题，学生展示成果的形式多种多样，有微视频、小论文、手抄报、漫画等，这些都充分体现了学习数学的乐趣。
五、教学反思
1.设置有效的探究活动
教材为教师提供基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整。对于平方差公式的几何验证，设计了更加开放性的、有效的学生合作探究活动，让学生可以根据所提供的工具，展开思考、操作、交流、得出结果、展示成果。整个探究过程能够培养学生勤于动手、乐于思考的学习习惯，发展学生的几何直观。
2.发展学生的核心素养
通过对平方差公式几何验证的探究，学生能够直观理解所学的数学知识；通过观察·思考环节，学生能够使用数学符号表示规律，这些都在培养学生会用数学的眼光观察现实世界。在利用公式进行简单的计算时，先由学生尝试独立完成，给予学生充分自主空间，教师适时给予点拨和规范化引导。经过独立的数学思维过程，学生学会用数学的思维思考现实世界；课堂的每一环节、每个问题，都为学生提供展示、表达的机会，意在帮助他们形成数学表达能力，会用数学的语言表达现实世界。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织各种形式的合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3.注意结构化学习
本教学设计设置了在核心问题统领下层层递进的一系列问题，这些问题的组织逻辑性、结构性强，能够引发学生的认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究。通过问题及追问，从知识回顾、学习内容的展开，到合作探究平方差公式的几何验证，引领学生经历观察、思考、操作、表达、归纳概括、迁移运用等学习过程，体会数学是观察、思考、表达现实世界的工具、方法和语言。