2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合 强化练习题（含答案），共45页。
【例1】如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为
A．B．C．D．
【例2】如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 ．
【例3】如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【例4】已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
上述结论中，正确的有 ．
【例5】如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 ．
【例6】如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为 ．
【例7】如图，中，是中点，是的平分线，交 于．若，，则的长为 ．
题型 2 半角模型
【例8】已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．
【例9】当几何图形中，两个共顶点的角存在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”．
（1）如图1，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
（2）如图2，如果四边形中，，，，且，，，求的长．
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于 ．
（4）如图4，边长为6的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长．
题型 3 四边形综合
【例10】在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是 ．（填序号）
【例11】如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（把正确结论的序号都填上）
【例12】在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论：
①；②；③；④
其中结论正确的是
【例13】如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的是 （只填序号）
【例14】如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论：
①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【例15】如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有 （填序号）．
【例16】如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是 ．（把正确的序号写在横线上）
【例17】如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填入正确的序号）．
【例18】如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与交于点，，，垂足分别为，，连接，，．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的序号是 ．
2025年中考数学考前冲刺：三角形、四边形综合 强化练习题·教师版
1．如图，把两个含角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点是边的中点，连接交于点，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图，
设，
，，
，，
点是边的中点，
．
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，在中，点、分别在边、上，，，如果，，那么的值是 ．
【解答】解：，，
，
，
，
．
．
，
，
．
．
故答案为：．
3．如图，，与交于点，过点作，分别交，于点，，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，故选项正确，不符合题意；
，
，，
①，②，
①②得，
，
，
，
，，
，
，
，故，选项正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．故选项错误，符合题意．
故选：．
4．已知，如图，为中线上一点，，延长、分别交、于点、，交于点．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
上述结论中，正确的有 （3）（4） ．
【解答】解：延长到，使，连接、，
是中线，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，，
，，
，
；
，，
，
，而与不一定相等，故（1）错误；
，，
，，
，故（2）错误；
，
，
；故（3）正确；
，
，，
．故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．
5．如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 ．
【解答】解：设正方形的边长为，设与交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
，，
，
．
，
，
，
，
解得：．
正方形的边长为．
故答案为：．
6．如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点、在边上，、分别在、上，则内接矩形的最大面积为 80 ．
【解答】解：四边形为矩形，
，．
，
，
设，则．
，
，
，
，
．
矩形的面积
．
，
当时，内接矩形的最大面积为80．
故答案为：80．
7．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为 13 ．
【解答】解：过点作交的延长线于点，如图所示，
，是的平分线，
，
．
是中点，，
为的中位线，
．
故答案为：13．
8．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：
由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：，
证明如下：
如图，把绕点逆时针旋转到，交于点，
同（1）可证得，
，且，
．
9．已知，如图1，四边形是正方形，、分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）在图1中，连接，为了证明结论“”，小明将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图2，当的两边分别与、的延长线交于点、，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：
由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：，
证明如下：
如图，把绕点逆时针旋转到，交于点，
同（1）可证得，
，且，
．
10．在四边形中，，，，为上一点，，且，的延长线于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中结论正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【解答】解：①，，
．
，
，
．
在和中，
，
．故①正确；
②，
．
又，
是的垂直平分线．
即垂直平分．故②正确；
③取的中点，连接，
，，
．
，
．
，
．
，
．
．
，
即，故③正确．
④，
，
，
，
，
，
平分；故④正确；
结论正确的是：①②③④．
故答案为：①②③④．
11．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
设，则，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确；
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
平分，
，故②正确；
③，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，故③正确；
，
，，
，
，
，故④错误；
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
12．在直角梯形中，，，，为边上一点，，且，连接交对角线于，连接，下列结论：
①；②；③；④
其中结论正确的是 ①②④
【解答】解：①，，
，
又，
，
又，，
；故①正确；
②同理，
，
，
，
，
为等边三角形，设，则，，，
，
，
，故②正确，
③由②可知，，
，
，故③错误，
④由②③可知；
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
13．如图，已知正方形，延长至点使，连接、，与交于点，取的中点，连接，，交于点，交于点，则下列结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的是 ①③④⑤ （只填序号）
【解答】解：四边形为正方形，，
，，
，
，
，，故①正确；
如图，连接，
，，
，
，，
，故②错误；
，，是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
如图，作于，则，
，
，
，故④正确；
，
，
，
，
是的中点，
，
，故⑤正确；
，
设，，
，
，
，
，故③正确；
故答案为：①③④⑤．
14．如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点，的坐标分别是，，点，把线段三等分，延长、分别交、于点，，连接．则下列结论：
①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④
其中正确的结论是 ①③ （填写所有正确结论的序号）．
【解答】解：①四边形是平行四边形，
，，
，
，
、为的三等分点，
，
，
，
，
是的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长交轴于，
由知：，，
，
，
，
，
，
，
不成立，
，且与相交，
，
不成立，
同理可知为的中点，即，
由勾股定理得：，
，
，
，
所以②结论不正确；
③由①知：为的中点，
由②知：是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
所以③结论正确；
④在中，由勾股定理得：，
，
，
所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：①③；
故答案为：①③．
15．如图，在正方形中，，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于，连接，对角线分别与、交于、，连接、，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有 ①②③ （填序号）．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
将沿直线翻折，得到，
，，，，
，，
又，
，
，，
，故①正确；
，
，
，
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，，，
，，
，
又，
，
，
，
；故②正确；
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
；故③正确；
，则，
，
，
，故④错误；
故答案为：①②③．
16．如图，在正方形中，、是射线上一动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接；在下列结论中①；②；③；④；⑤若，则；⑥．其中一定正确的是 ①③④⑥ ．（把正确的序号写在横线上）
【解答】解：四边形是正方形，
，，
又，
，
，故①正确；
不一定为，
不一定与相等，
即与不一定全等，故②错误；
如图1，在上截取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，故③正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
在中，，
，故④正确；
，
设，则，
，
如图1，在上截取，连接，
由③可得：，
设，则，
，
，
，
，
，故⑤错误；
如图1，
，
，
，故⑥正确；
故答案为：①③④⑥．
17．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ①②④ （填入正确的序号）．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，，
，
，故④正确；
，，，
，
，，，
，
，
，
，故②正确；
，，
，故③错误．
综上，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
18．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与交于点，，，垂足分别为，，连接，，．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中结论正确的序号是 ①②③④⑥ ．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，，
，故①正确；
设正方形的边长为，则，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，延长交于，
点是中点，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，，
，
，故④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误；
，，
，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑥．