2025年中考数学考前冲刺：二次函数与角度问题 强化压轴练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：二次函数与角度问题 强化压轴练习题（含答案解析），共61页。试卷主要包含了已知，抛物线与轴交于点等内容，欢迎下载使用。
1．如图，二次函数的图像与x轴交于点A、B，已知与y轴交于点，该抛物线的顶点为点D．
（1）二次函数的表达式为 ，点D的坐标为 ；
（2）连接BC．
①在抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
②若是抛物线上动点，则是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
2．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A，B两点）作x轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x轴上的“足距”，记作．根据该约定，完成下列各题：
（1）若点，．当点A、B在函数的图象上时，______；当点A，B在函数的图像上时，______；
（2）若反比例函数的图象上有两点，，当时，求正整数k的值．
（3）在（2）条件下抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．如图，点D是该抛物线的顶点，点是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求m的值．
3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），且与x轴右侧交于B点，对称轴为直线x＝1，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作直线l∥x轴交抛物线于点D，点P在抛物线上，且∠DCP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y＝kx+b（k≠b）交抛物线于M、N两点，NH⊥x轴于点H，HQ与MN相交于点Q，求点Q的横坐标．
4．如图1，直线与轴、轴分别交于点与点，抛物线经过点A、，在线段OA上有一动点，点不与、重合，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点是的中点时，求的值；
（3）在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，直接写出的最小值．
5．已知，抛物线与轴交于点．
（1）如图1，抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线；
①求抛物线的解析式；
②点为抛物线上一动点，，垂点为，当与相似时，直接写出点坐标；
（2）点为抛物线顶点，若抛物线上有且只有一个点的横坐标是纵坐标的2倍，且，求的值．
6．如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，，的长分别为的两个根，点在轴的负半轴上，且，连接．
（1）求过，，三点的抛物线的函数解析式；
（2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动到点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，连接，当点到达点时，点停止运动，求的最大值；
（3）是抛物线上一点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线（，，为常数，且）经过，两点，与轴正半轴交于点．
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）为线段上的一个动点（点与、不重合），过作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，连接，，点的横坐标为，当为多少时，的面积最大，最大面积为多少？
（3）在对称轴上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4），连接AD．直线y＝﹣x+c经过点B，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式及c的值．
（2）点N为抛物线在y轴右侧的部分上一点，当△ADN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标．
（3）点F为线段BE上一点，点G为线段OB上一点，连接FC，FG的延长线与线段AD交于点H，当∠EFG＝3∠ABE，且GH＝2FG时，直接写出点F的横坐标．
9．如图1，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点作轴于点，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）如图2．连接，交直线于点，当时，求的正切值．
10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线相交于点，交轴于点，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在轴右侧的抛物线上存在一点，使的面积相等，直接写出点的坐标．
11．如图1，抛物线交轴于，两点（在的左侧），与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，点在抛物线上，且满足，求点的坐标；
（3）如图2，直线交轴于点，过直线上的一动点作轴交抛物线于点，直线交抛物线于另一点，直线交轴于点，试求的值．
12．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．
（1）求直线AB和抛物线的表达式；
（2）连接BM，若∠BMP＝∠AOB，
①求证：BM∥OA；
②求点P的坐标；
③请直接写出四边形OBMA的外接圆的圆心坐标．
13．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，为直线上方的抛物线上一点轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标；
（3）如图，点在轴负半轴上，点绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．
14．如图，已知二次函数的图象分别交轴于点，，交轴于点，抛物线的顶点为，其中点，，．
(1)求抛物线的解析式并直接写出抛物线的对称轴；
(2)在直线的上方抛物线上有一点，且满足，请求出点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，是否存在点，，使以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
15．如图1，已知直线y＝－x＋1与x轴交于点B，与y轴交于点A，将直线AB向下平移，分别与x轴、y轴交于D、C两点，且OC＝OA，以点B为顶点的抛物线经过点A，点M是线段AB（不含端点）上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，M1，M2分别是点M关于直线CA，CB的对称点，连接CM1，CM2，M1M2，求证：△CM1M2∽△CDB；
（3）如图2，作ME⊥OB分别交抛物线和直线CD于P，E两点．点Q是DE上一动点，当线段PE长最小且∠EPQ＝∠CDO时，求点Q的坐标．
16．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标；
（3）如图2，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．
17．已知抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且，请直接写出点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为C(3，6)，与轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，直线AB交抛物线于点E，连接BC、CE，求△BCE的面积；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年3月11日初中数学作业》参考答案
1．（1），；（2）①（2，3）；②存在，
【分析】（1）把AC两个点坐标代入解析式即可求出二次函数解析式和顶点D的坐标；
（2）①由直线平行则k相等即可求出DP解析式，再求与抛物线交点即可；
②找点Q，使得∠DAB -∠BCQ＞45°，即关键是找到点Q，使得∠DAB -∠BCQ=45°．注意到第①问中点P的坐标为（2，3），且∠PAB=45°，所以关键是找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，进而把原问题转化为探究两个角相等问题．
【详解】（1）∵二次函数的图像过、
∴
解得
∴二次函数的表达式为
顶点D的坐标为（1,4）
（2）①由（1）可知抛物线的对称轴为直线，所以易得点B坐标为（3，0）．
设直线BC的函数表达式为．
则有解得
∴直线BC的函数表达式为．
∵
∴设DP解析式为
代入D（1,4）得：，
∴直线ED的函数表达式为．
令，解得（D点舍去），．
当时，，所以点P坐标为．
（3）设点Q的横坐标为t，
所以关键是找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，
过P作PM⊥AB于M
∵点P的坐标为（2，3），A（-1,0）
∴PM=AM=3
∴∠PAB=45°，
∵找点Q，使得∠DAB -∠BCQ＞45°，
∴找到点Q，使得∠DAB -∠BCQ=45°．
∵∠DAB -∠DAP=45°．
∴找点Q，使得∠QCB=∠DAP ，
∵D（1,4）
∴
∴
∴△PAD是直角三角形
当Q在BC上方时，过B作BG⊥BC交CQ于G，过G作GH⊥AB于H
则
∴
∵∠QCB=∠DAP
∴
∴GH=BH=1
∴G点坐标（4,1）
∴CG的解析式为
∵Q为抛物线与CG交点
∴令，解得
当x=0时为C点
∴Q点横坐标
同理：当Q在BC下方时，求得Q点横坐标为4
综上存在点，使得，点的横坐标的取值范围是
【点睛】本题考查二次函数与相似综合，难度比较大，解题的关键是能察觉隐藏条件∠PAB=45°，最终利用一线三垂直模型构造相似.
2．（1）5；10；（2）1；（3）
【分析】（1）先把点A和点B的坐标代入y=2x，求出x1，x2的值，由“垂足距”的定义即可求出答案；先把点A和点B的坐标代入，求出x1，x2的值，由“垂足距”的定义即可求出答案；
（2）根据“垂足距”的定义得出k的方程，解方程即可；
（3）连接，过点P作轴于点H，作的平分线交于点G，过点G作于点M，证明△PMG∽△PHA，运用相似三角形性质及三角函数、勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵点，在函数y=2x的图象上，
∴x1=3，x2=-2，
∴
故答案为：5；
∵点，在函数的图象上，
∴x1=-4，x2=6，
∴，
故答案为：10．
（2），在反比例函数的图象上，
，，
，
，
当时，，此时无解，
当时，，
解得：或1，
∵k为正整数
（3）如图，连接，过点P作轴于点H，作的平分线交于点G，过点G作于点M，
∵k=1
∴抛物线的解析式为，可得对称轴为直线，
，
令y=0，则，
解得，
∴，
令，则
∴，
，，，
，
，
是直角三角形，
，
平分，，，
，，，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
在中，，
①，
∵点P在抛物线上，
②，
联立①②式可得：，
解得：，，
∵点是第一象限内该抛物线上的一个点，
【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数图象上的点的特征，二次函数图象和性质等知识点，解题关键是理解题意，运用“垂足距”的定义解决问题．
3．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（），（）；（3）3
【分析】（1）利用A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，可得点B的坐标为（3，0），将A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法抛物线解析式可求；
（2）根据题意确定点P的位置，分P在直线CD的上方和P在直线CD的下方两种情形解答；过P作PE⊥CD于E，设出P点坐标，用坐标表示出相应线段，根据∠DCP＝∠ACO，则得tan∠DCP＝tan∠ACO＝，可得，列出比例式，P点坐标可求；
（3）过M作MG⊥x轴于G，过Q作QT⊥x轴于T，分别设出M，N，Q的坐标，利用坐标表示出相应线段；将抛物线与直线解析式联立，利用一元二次方程根于系数的关系得出M，N的横坐标的关系；利用△MGA∽△QTH，列出比例式，结论可求．
【详解】解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线，
∴点B的坐标为（3，0）．
将A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中得：
．
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①当P在直线CD的上方时，过P作PE⊥CD于E，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1．
令x＝0，则y＝﹣3．
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
设P（m，m2﹣2m﹣3），m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，
∵CD∥x轴，PE⊥CD，
∴CE＝m，PE＝3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m．
∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，
∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．
∴．
∴．
解得：m＝ 或m＝0（不合题意，舍去）．
∴P（）．
②当P在直线CD的下方时，过P作PE⊥CD于E，
设P（m，m2﹣2m﹣3），m＞0，m2﹣2m﹣3＜0，
∵CD∥x轴，PE⊥CD，
∴CE＝m，PE＝（﹣m2+2m+3）﹣3＝﹣m2+2m．
∵tan∠ACO＝，∠DCP＝∠ACO，
∴tan∠DCP＝tan∠ACO＝．
∴．
∴．
解得：m＝ 或m＝0（不合题意，舍去）．
∴P（）．
综上，点P的坐标为（），（）．
（3）过点M作MG⊥x轴于G，过Q作QT⊥x轴于T，
∵M，N在直线y＝kx+b上，
∴设M（e，ke+b），N(f,kf+b），其中，
e＜0，，ke+b＞0．
∵MG⊥x轴，NH⊥x轴，
∴OG＝﹣e，OH＝f，MG=ke+b．
∴AG＝OG﹣OA＝﹣e﹣1．
由题意：．
整理得：x2﹣（k+2）x﹣（3+b）＝0．
∵e，f是方程x2﹣（k+2）x﹣（3+b）＝0的两根，
∴e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3．
设Q（n，kn+b），，kn+b＞2，
∵QT⊥x轴，
∴OT＝n，QT＝kn+b．
∴HT＝OH﹣OT＝f﹣n．
∵HQ∥MA，
∴∠MAG＝∠QHT．
∵∠MGA＝∠QTH＝90°，
∴△MGA∽△QTH．
∴．
∴．
即：．
∴ken﹣kef+nb﹣bf＝ken+be+kn+b．
∴﹣kef+nb﹣bf﹣be﹣kn﹣b＝2．
∴﹣kef﹣b（e+f）﹣n（k﹣b）﹣b＝0．
将e+f＝k+2．ef＝﹣b﹣3代入上式整理得：
﹣k（﹣b﹣3）﹣b（k+2）﹣n（k﹣b）﹣b＝0．
∴（k﹣b）（3﹣n）＝0．
∵k≠b，
∴3﹣n＝0．
∴n＝3．
∴点Q的横坐标为3．
【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，主要考查了二次函数解析式的求法，抛物线的对称轴，图像上点的坐标的特征，直角三角形的边角关系，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，因式分解的应用，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
4．（1）；（2）2；（3）．
【分析】（1）根据直线解析式可得出A、B两点坐标，利用待定系数法求出b、c的值即可得答案；
（2）根据ED⊥x轴可用m表示出C、E两点坐标，根据点是的中点列方程求出m的值即可得答案；
（3）在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得，由（2）可知，根据OM′、OB、OD′的长可得，根据可证明，根据相似三角形的性质可得，可得AM′是的最小值，利用勾股定理求出AM′的长即可得答案．
【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点与点，
∴当时，；当时，，
∴，，
∵抛物线经过点A、，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）∵过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，
∴，．
∴．
∵点是的中点，
∴．
解得：，，
∵点不与、A重合，
∴，舍去，
∴．
（3）如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得,
由（2）可知，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴，此时最小，
∴的最小值，
∴的最小值是．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合及相似三角形的判定与性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、正确作出辅助线构建相似三角形是解题关键．
5．（1）①；②，，；（2）或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）分情况讨论结合相似三角形的判定和性质求解；
（3）首先根据二次函数抛物线与直线的交点情况确定D点坐标，然后结合二次函数的性质分情况讨论求解
【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点和点，对称轴为直线；
∴，
解得：．
∴．
（2）①当△PCN∽△CBO时，∠PCN=∠CBO
∴CP∥AB
∴点C与点P关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线与y轴交于C点，当x=0时，y=1
∴C点坐标为（0，1）
又∵对称轴为直线
∴P点坐标为（2，1）
②当△PCN∽△CBO时，∠PCN=∠CBO，
∴设CM=BM=a，则OM=3-a，OC=1，
在Rt△COM中，由勾股定理，
解得：，
∴OM=
∴M点坐标为，
设直线PC的解析式为，将C（0，1），M代入
，
解得
∴直线PC的解析式为
由此联立方程组，
解得：，
③过P作PD∥y轴于D，交直线BC与E，
当△PCN∽△CBO时，∠PCN=∠BCO，
∵PD∥y轴，
∴∠PEB=∠OCB，ED⊥x轴，
∴△EDB∽△COB，
设BC解析式为，
代入坐标得，
解得，
BC解析式为，
设D（m,0），
∴点E（m, ），
∴DE=，
∵PN⊥BC，即∠PNE=∠PNC=90°，
∠PEN=∠BCO=∠PCN，
∴△PEN∽△PCN，
∴
∴，
∴P（m, ），
∴PE=，
PC=，
∴
解得m=-2
∴P（-2，），
综上，P点坐标为，，．
（3）∵抛物线上有且只有一个点的横坐标是纵坐标的2倍，
∴抛物线与直线有且只有一个公共点，
∴，
只有一个实数根，
∴，
∴．
由题意，得：．
过作轴交轴于，
∵，，
∴，
∴．
∵，．
①当在轴左侧时，
，
∴，∵，
∴，
解得：，．
∵时，顶点与点重合，不合题意，舍去，
∴．
∴，
∴．
②当在轴右侧时，
，
∴，∵，
，
解得：，．
∵不合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定和性，质勾股定理．一元二次方程及其解法，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题关键．
6．（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）解x2-8x+12=0得：x=6或2，故点B（2，0）、点C（0，6），由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（-6，0）、（0，2）；再用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分两种情况讨论①当点在上方时，②当点在下方时，解答即可．
【详解】解：（1）由得或．
又∵，∴点的坐标为，点的坐标为．
∵，∴点的坐标为．
设抛物线的函数解析式为，
将点，，的坐标代入中，
得，解得．
∴过，，三点的抛物线的函数解析式为．
（2）∵，∴．
由题意得，，∴．
∴．
∵，∴当时，有最大值，最大值为．
（3）①如图，当点在上方时，过点作轴于点，
作轴于点，连接．
∵，，∴．
设点的坐标为，则．
在中，∵，
∴．∴．
∵，
∴四边形是矩形．∴．
即，解得（舍去），．
∴．
∴点的坐标为．
②如图，当点在下方时，过点作轴于点，
设与轴交于点，连接．
设点的坐标为，
则，．
∵，，
∴．
在中，∵，∴．
∴．
在中，，
∴，
解得（舍去），．
∴，．
∴点的坐标为．
综上所述，存在点，使得，
且点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积的计算，三角函数等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．（1），；（2）时，△CDA面积最大为；（3）存在，点坐标为，．
【分析】（1）把A（-3，0）代入可得关于m的一元一次方程，解方程可求出m的值，可得一次函数解析式，进而可求点C坐标，根据二次函数的对称轴可得点B坐标，利用待定系数法即可得抛物线解析式；
（2）如图，连接OD，由点P横坐标可得点D横坐标为n，可得点D坐标为（n，），根据S△CAD=S△AOD+S△COD-S△AOC，求出二次函数的最值即可得答案；
（3）设对称轴与x轴交于点F，作△ACB的外接圆⊙M，交x轴下方对称轴于E1，作E1关于x轴的对称点E2，根据圆周角定理可得∠ACB=∠AE1B，根据外心定义可得点M的横坐标，设M（-1，m），根据两点间距离公式可求出点M坐标，即可求出⊙M的半径，可求点E1坐标，根据轴对称性质可得AB垂直平分E1E2，可得四边形AE1BE2是菱形，根据菱形的性质可得∠AE1B=∠AE2B，可得∠AE2B=∠ACB，根据关于x轴对称的两个点的坐标特征即可得E2坐标，综上即可得答案．
【详解】（1）∵一次函数（为常数）的图象与轴交于，
∴，
解得：m=-2，
∴一次函数解析式为：y=，
当x=0时，y=-2，
∴点C坐标为（0，-2），
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与轴正半轴交于点，
∴点B坐标为（1，0），
∵抛物线过点A、B、C，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，连接OD，
∵点P横坐标为n，过作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点，
∴点D横坐标为n，
∵抛物线解析式为，
∴点D坐标为（n，），
∵为线段上的一个动点，
∴-3