2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习三（含答案）

2022年中考数学三轮冲刺

《四边形》解答题冲刺练习三

1.在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点O，点 E、F在AC上，        (填写序号).求证：BE=DF.

2.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：

(1)△ABF≌△DEA；

(2)DF是∠EDC的平分线.

3.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

4.如图,已知△ABC中,D是BC边的中点,AE平分∠BAC,BE⊥AE于E点,若AB=5,AC=7,求ED．

5. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为(　　)

A.平行四边形　　B.菱形　　C.矩形　　D.正方形

(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.

①求证:四边形AFF'D是菱形;

②求四边形AFF'D的两条对角线的长.

图1　　　　　　　　　图2

6.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

7.如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

(1)求证:△AEC≌△ADB;

(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.

8.如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动．

（1）当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；

（2）求△ODP周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）

0.答案解析

1.解：若选 ②，即 OE=OF ；

证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ BO = DO，

∵ OE=OF，∠BOE =∠DOF，

∴△BOE ≌△DOF ( SAS )，

∴ BE = DF ；

若选 ①，即 AE=CF ；

证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ BO = DO， AO = CO，

∵ AE=CF，

∴ OE=OF，

又∠BOE =∠DOF，

∴△BOE ≌△DOF ( SAS )，

∴ BE = DF ；

若选 ③，即 BE ∥ DF ；

证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ BO = DO，

∵ BE ∥ DF ；

∴∠BEO =∠DFO，

又∠BOE =∠DOF，

∴△BOE ≌△DOF ( AAS )，

∴ BE = DF ；

2.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠DEA=∠B=90°，

∵AF=BC，

∴AF=AD，

在△DEA和△ABF中

∵，

∴△DEA≌△ABF(AAS)；

(2)证明：∵由(1)知△ABF≌△DEA，

∴DE=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，DC=AB，

∴DC=DE.

∵∠C=∠DEF=90°

∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)

∴∠EDF=∠CDF，

∴DF是∠EDC的平分线.

3.（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是边CD的中点，

∴CE=DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，

所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，

由勾股定理得，CG=，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

4.解：延长BE交AC于F
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∵BE⊥AE，AE＝AE
∴△ABE全等于△AFE
∴AF=AB，BE＝EF
∵AB＝5
∴AF＝5
∵AC＝7
∴CF＝AC-AF＝7-5＝2
∵D为BC中点
∴BD＝CD
∴DE是△BCF的中位线
∴DE＝CF＝1

(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD=15,AE⊥BC,∴AE=3.

如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.

又△AEF经平移得到△DE'F',∴AF∥DF',AF=DF',

∴四边形AFF'D是平行四边形.

又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.

②如图,连接AF',DF.

在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=.

在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=3.

∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为,3.

6.

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,∴∠EAC=∠DAB.

又AB=AC,∴AE=AD,∴△AEC≌△ADB.

(2)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,∴∠DBA=∠BAC=45°,

又由旋转知AB=AD,∴∠DBA=∠BDA=45°,∴△BAD是等腰直角三角形.

∴BD2=AB2+AD2=22+22=8,∴BD=2.

∵四边形ADFC是菱形,∴AD=DF=FC=AC=AB=2,∴BF=BD-DF=2-2.

8.解：（1）OD是等腰三角形底边时,P 就是OD 垂直平分线与CB 的交点,此时OP=PD ≠5；

（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心,以5 为半径的弧与CB的交点,在直角△OPC 中,CP=3,则P 的坐标是(3,4).若D 是顶角顶点时,P 点就是以点D 为圆心,以5 为半径的弧与CB 的交点,过D 作DM⊥BC于点M,在直角△PDM 中,PM=3,当P 在M 的左边时，CP=5-3=2,则P 的坐标是(2,4 );当P 在M 的右侧时，CP=5+3=8,则P 的坐标是(8,4)．

故P 的坐标为：(3,4)或（2,4)或（8 ,4)．

 (2)作O点关于BC的对称点E(0,8)，连接DE，与BC交于P点，即△ODP周长最小；

 设直线DE解析式为：y=kx+b，将(5,0),(0,8)代入得：y=-1.6x+8，当y=4时，y=2.5，所以P(2.5,4)；

 DE2=OD2+OE2=52+82=89，所以DE=，所以△ODP周长=5+；