2025年中考数学三轮冲刺：解直角三角形的应用 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学三轮冲刺：解直角三角形的应用 强化练习题（含答案），共27页。试卷主要包含了仰角俯角问题，方位角问题，坡度坡比问题等内容，欢迎下载使用。
一、仰角俯角问题
1．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为多少米？（3≈1.73）
2．如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，在离该建筑物底部12m的点F处，从E点观测旗杆的顶端A处和底端B处，视线与水平线夹角∠AED为52°，∠BED为45°，目高EF为1.6m．求旗杆AB的高度（结果精确到0.1m）．【参考数据：sin52°=0.79，cs52°=0.62，tan52°=1.28】
3．某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图2，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图，已知BC=1米，∠MBC=37°，起始点D处看点C，仰角∠ADC=45°，继续向前行走，在点E处看点B，仰角∠AEB=53°，且D到E走了2.4米，作CN⊥AM．（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
(1)CN=______；BN=______．
(2)求匾额下端距离地面的高度AB．
4．衡阳市的东洲湘江大桥实景图如图①，现要测量桥墩AD的高度，图②是设计的测量示意图．已知桥墩底端点A到河岸的参照点B的距离AB=60米，斜坡BC的长为40米，斜坡BC与水平面AN的夹角∠CBN=30°，坡顶平台CM∥AN，CM=50米，在M处测得桥墩顶端点D的仰角∠CMD=20°．
(1)求平台CM到水平面AN的垂直距离；
(2)求桥墩AD的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）
5．为了测量一高出地面1米的平台上旗杆的高度AB，李明同学从旗杆底部B出发，沿平台前进3米至C处，然后沿坡度为1:2的斜坡走到地面D处，再沿水平地面继续前行6米到达一建筑物底部E处，在建筑物的走廊窗户F处测得D处的俯角为30°，旗杆顶部A的仰角为22°，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求旗杆的高度AB．（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
6．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°；再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°．（结果均精确到1 m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(1)无人机在点P处时距离教学楼底端点A的距离；
(2)求教学楼AB的高度．
7．图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为20°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．
(1)体育王老师的身高201cm，头部高度为25cm，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明．
(2)数学张老师身高165cm，头部高度为20cm，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明
（精确到0.1cm，参考数据sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
8．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：

【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．
二、方位角问题
9．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
10．如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁CD，A地和B地都有休闲步道与桥梁CD相连．为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道AE，BF（点A，E，F，B在同一水平直线上），桥梁EF与桥梁CD平行，且EF=1.5CD．经过测量，桥梁CD的一端C在A地的北偏东65°方向，另一端D在B地的北偏西45°方向，B地在A地的正东方向．A，B两地相距870米，A，C两地相距650米．
(1)求桥梁EF的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin65°≈0.91，csc65°≈0.42，tan65°≈2.14）
(2)周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达B地？并说明理由．（参考数据：2≈1.41）
11．如图，考古人员在某古墓大门A处探测到古墓内有一个青铜古物O，但大门A正北方向有一间封闭墓室，考古人员无法沿直线AO进行挖掘．经勘测，考古人员发现有两条挖掘线路可以到达青铜古物O处，即线路①A−C−D−O；线路②A−B−O．其中点C在点A的正东方向10m处，点O在点C北偏西30°方向，点D在点C的正北方向，点O在点D的西北方向20m处，点B在点A的正西方向，点O在点B北偏东30°方向．
(1)求点C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
(2)受周围环境的影响，考古人员挖掘线路①的平均速度是3m/h，挖掘线路②的平均速度是3.2m/h，请通过计算估计哪条挖掘线路能更快地到达青铜古物O处．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)
12．某校进行应急演练，事发地点C处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于B点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于B点处的救护人员立即出发，A处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点C处．计划由B处的救护人员赶到事发地点C处一边应急处理一边护送该伤员沿CA方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知C在A的北偏东30°方向500米上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向上．

(1)求BC两点的距离（结果精确到1米，参考数据：3≈1.732）；
(2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计）
13．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．今年春季，某学校组织八年级学生去一公园踏青．公园内有如图所示的四边形ABCD循环步道．经测量，点B在点A的南偏东60°，点C在点A的正东方，点D在点A的东北方向2003米处，且点D也在点C的西北方向．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
(1)求BC的长度（结果保留根号）；
(2)已知从A到C有两条路线可走：路线①A→D→C，路线②A→B→C．路线①的步行速度为50米/分钟，路线②的步行速度为65米/分钟，请计算说明：走哪条线路更省时间？（结果保留一位小数）
14．如图为某公园平面图，小明沿路线A→B→C→E跑步运动，小刚沿路线G→D→E跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，CE∥AG，点D位于点G北偏西60°方向，点E位于点D北偏西30°方向，且DG=DE，已知 AB=400米， AG=1900米， CE=300米，（参考数据 2≈1.4,3≈1.7,6≈2.5)
(1)求BC的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
三、坡度坡比问题
15．如图2是摩天轮图1的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20m到达 C，再经过一段坡度（或坡比）为i=0.75，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内），在 E 处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，求摩天轮AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin24°≈0.4，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
16．有一水果摊，其侧面示意图如图所示，AB，CD分别是水果摊前挡板，后挡板，AB，CD均与水平地面BC垂直，AB=50cm，CD=140cm，坡面AD是水果放置区，坡度为i=1:2，在后挡板CD的正上方点E处安装顶棚EF，DE=60cm，且∠DEF=108°，此时顶棚的另一端点F到前挡板AB的水平距离GB=60cm．（参考数据sin18°=0.31，tan18°=0.32）

(1)水果放置区的水平宽度BC；
(2)求顶棚端点F离地面的高度FG．（精确到1cm）
17．如图，在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯（即BC=EF），设计要求左、右两边的滑梯BC，EF的坡度分别为1:2和1:0.5．测得AD=3米，CD=5米．
(1)求滑梯的长；
(2)试猜想两个滑梯BC，EF的位置关系，并证明；
(3)小亮（看成点）P从点E沿滑梯EF下滑，请直接写出他与C处距离的最小值．
18．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为5.2米，∠ACD=20°．

(1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1:2，求平台EF的长度．
19．位于海南省儋州市的东坡书院是全国重点文物保护单位，是苏轼谪居儋州时期的讲学场所．某校开展综合实践活动，小华借助一个斜坡测量书院内载酒亭的高度AB，如图，坡长CD=2米，坡角为30°，在C处测得载酒亭顶端A的仰角为60°，在D处测得载酒亭顶端A的仰角为45°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
(1)∠ACD=______度；∠CAD=______度；
(2)求点D到地面BC的距离；
(3)求载酒亭的高度AB（结果取整数）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
20．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°．
(1)填空：∠APB= °；
(2)求点D到地面AC的距离；
(3)求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325）
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB=57米，DE=30米，∠DAE=30°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan∠DAE=DEAE=tan30°=33，
∴AE=3DE=303（米)，
∴BE=AB−AE=(57−303)（米)，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=(57−303)米，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∠DCF=45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴DF=CF=(57−303)米，
∴BC=EF=DE−DF=30−(57−303)=(303−27)（米)，
答：教学楼BC的高度为(303−27)米．
2．解：由题意得，四边形CDEF是矩形，
∵∠BED=45°，
∴∠EBD=45°，
∴BD=ED=FC=12，
∴BC=BD+DC=BD+EF=12+1.6=13.6，
∵∠AED=52°，
∴AD=ED⋅tan52° ≈12×1.28=15.36m，
∴AB=AD−BD=15.36−12≈3.4m，
∴旗杆AB的高度为3.4m．
3．（1）解：∵CN⊥AM，
∴∠BNC=90°，
在Rt△BCN中，BC=1，∠MBC=37°，
∴CN=BC⋅sin37°≈1×0.6=0.6米，BN=BC⋅cs37°≈1×0.8=0.8米，
故答案为：0.6米，0.8米；
（2）解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵MA⊥AD,CN⊥AN，CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CNA=∠NAF=90°，
∴四边形AFCN是矩形，
∴CF=AN,CN=AF=0.6米，
由题意知：DE=2.4米，
设AE=x米，
∴AD=DE+AE=x+2.4米，
∴DF=AD−AF=x+2.4−0.6=(x+1.8)米，
在Rt△CDF中，∠CDF=45°，
∴CF=DF⋅tan45°=(x+1.8)米，
∵∠AEB=53°，
∴∠ABE=90°−∠AEB=90°−53°=37°，
在Rt△ABE中，AB=AEtan∠ABE=xtan37°≈43x米，
∵AB+BN=CF，
∴43x+0.8=x+1.8，
解得：x=3，
∴AB=43x=4米，
∴匾额下端距离地面的高度约为4米．
4．（1）解：作CH⊥AN，垂足为H，
∴∠AHC=90°，
∵∠CBH=30°，BC=40m，
∴CH=12BC=20m，
答：平台CM到水平面AN的垂直距离为20m．
（2）解：延长MC交AD于点G，则MG⊥AD，四边形AHCG为矩形，
∴CG=AH，AG=CH=20m，
在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=30°，cs∠CBH=BHBC，
∴BH=BC⋅cs∠CBH=40×32=203m，
∴CG=AH=BH+AB=60+203m，
∴GM=CG+MC=60+203+50=110+203m，
在Rt△DMG中，∠DGM=90°，∠M=20°，
∴DG=MG⋅tan∠M=110+203⋅tan20°=110+203×0.36≈52m，
∴AD=AG+DG=20+52=72m．
答：桥墩AD的高度约为72m．
5．解：过F作FG⊥AB于G，延长ED、AB交于点O，过点C作CH⊥OE于H，
则CB=3，CH=1，DE=6，EF=GO，FG=EO，OB=CH=1，∠AFG=22°，∠EDF=∠DFG=30°，
∵斜坡CD的坡度为1:2，CH=1，
∴DH=2，
∴EO=ED+DH+HO=6+2+3=11，
∴FG=EO=11，
在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，
∴AG=FG⋅tan∠AFG=11×tan22°≈11×0.40=4.40，
在Rt△EDF中，tan∠EDF=EFDE，
∴EF=DE⋅tan∠EDF=6×tan30°=6×33=23≈3.46，
∴GO=3.46
∴AB=AG+GO−OB=4.40+3.46−1≈6.9．
即路灯的高度AB约为6.9米．
6．（1）解：如图，延长AB交直线PQ于点H，则∠PHA=90°，

由题意知AH=30m，
∵∠APH=37°
∴在Rt△PHA中，sin∠APH=sin37°=AHAP=0.6
∴30AP=0.6
∴AP=50m
∴无人机在点P处时距离教学楼底端点A的距离为50m；
（2）解：在Rt△PHA中，tan∠APH=AHPH，即tan37°=30PH≈0.75，
解得PH=40m，
∴ QH=PH−PQ=40−26.6=13.4m，
∵ ∠PHA=90°，∠QHB=45°，
∴ ∠QBH=∠QHB=45°，
∴ QH=BH=13.4m，
∴ AB=AH−BH=30−13.4=16.6≈17m．
7．（1）解：王老师能在有效识别距离内被识别．
理由：假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P，
由题意，得CE=201cm，EP=OA=160cm，
∴PC=CE−PE=201−160=41cm，
∵AP=AP，∠CAP=∠DAP，∠APC=∠APD=90°，
∴△ACP≌△ADPASA，
∴PC=PD，
在Rt△CAP中，AP=PCtan∠CAP≈113.9，
∴OE=113.9cm，
∵OB=150cm，113.920cm，即整个头部在摄像头视角范围内，
在Rt△NAQ中，∵QN=15cm，∠NAQ=20°，
∴AQ=QNtan∠NAQ≈41.7cm，
∴OF≈41.7cm，
答：张老师离摄像头水平距离的最小值约为41.7cm．
8．（1）解：∵∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，
∴△DCE∽△ACB，
∴DECE=ABCB，
∴1.53=AB15，
∴AB=7.5．
答：旗杆的高度为7.5米；
（2）解：∵DE，CF，AB均垂直于地面，
∴∠CGD=∠AHD=90°，
∵∠CDG=∠ADH，
∴△CDG∽△ADH，
∴CGAH=DGDH，
∵CG=CF−GF=4−1.5=2.5，DG=EF=3，DH=BF+EF=9+3，
∴4−1.5AH=33+9，
解得：AH=10，
∴AB=10+1.5=11.5，
答：旗杆的高度为11.5米；
（3）解：由题意可得EF=6，DE=CF=GB=1.5，
由题意得：tanβ=AGCG，tanα=AGDG，
∴CG=AGtanβ，DG=AGtanα，
∵CD=CG−DG，CD=EF=6，
∴EF=AGtanβ−AGtanα，
∴AG0.5−AG0.8=6，
解得：AG≈8，
∴AB=AG+GB=8+1.5=9.5．
答：旗杆的高度为9.5米．
9．（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=30°，
故∠APB的度数为30°；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=40×1=40（海里）
在Rt△PBD中，PD=BP·sin60°= 203（海里），
∵ 203> 20，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
10．（1）解：作CM⊥AB，DN⊥AB．
可得四边形CMND是矩形，∠AMC=∠DNB=90°，
由题意易证∠ACM=65°，∠BDN=45°．
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=65°，AC=650，
∴AM=AC⋅sin65°≈650×0.91=591.5m，
∴CE=AC⋅cs65°≈650×0.42=273m．
∴CM=DN=273．
在Rt△DBN中，∠DNB=90°，∠BDN=45°，
∴BN=DN⋅tan45°=273×1=273m．
∴MN=AB−AM−BN=870−591.5−273=5.5m．
∴CD=MN=5.5m，EF=1.5CD=1.5×5.5=8.25≈8.3m．
答：桥梁EF的长度约为8.3米．
（2）在Rt△DBN中，∠DNB=90°，∠BDN=45°，
∴BD=BNsin∠BDN=BNsin45°=2732≈384.9m．
650+5.5+384.9100≈10.4分钟．
87070≈12.4分钟．10.4