2025年中考数学考前冲刺：二次函数综合压轴题 强化练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：二次函数综合压轴题 强化练习题（含答案），共49页。试卷主要包含了二次函数与直角三角形综合，二次函数与等腰三角形综合，二次函数与平行四边形综合，二次函数与矩形综合等内容，欢迎下载使用。
一、二次函数与直角三角形综合
1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3a≠0经过A1,0,B−3,0两点
(1)求a、b的值．
(2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为10时，求点D的坐标．
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y=x−3经过B，C两点，点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值；
(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A′,连接A′C,A′F,当△FA′C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．
3．综合与探究
已知抛物线y=−x2+bx+c与直线BC交于B4,0，C0,4两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若N为抛物线顶点，则线段CN的长为_____．
(3)如图1，点M是直线BC上方抛物线的一动点，过点M作MD⊥x轴，交BC于点E．连接CM，BM，求△CBM的面积的最大值．
(4)如图2，在抛物线上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C0,3，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
(1)求这个二次函数及直线BC的表达式；
(2)过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值；
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，矩形OCDE的顶点E，C分别在x轴，y轴上，D4,3．抛物线y=ax2+bx−3aa≠0与x轴交于A−1,0，B两点．
(1)如图1，若抛物线经过点C，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接OD，F为线段CO上一点，连接AF，若FA=FC，请判断∠CDO和∠OFA是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线y=ax2+bx−3aa≠0的顶点为H，取AH的中点M，则以M，H，D为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出a的值；若不能，请说明理由．
二、二次函数与等腰三角形综合
6．如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点B 的坐标为(3,0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线BC于点D， 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E．
①请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由；
②连接OD，当△OCD为等腰三角形时，求点D的坐标．
7．综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−1, 0, B3, 0，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的表达式．
(2)Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线y=x2−5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(−5,0)和点B，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段AC上的一动点，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当PQ最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使QM+AM的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线AC上的运动过程中，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．综合与探究
如图1，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A−1,0、B4,0两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式并直接写出点C的坐标；
(2)求△ABC的面积，并在该二次函数图象上确定一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请求出所有满足条件的P点的坐标．
(3)该二次函数对称轴上是否存在一点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰三角形？若存在，接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数与平行四边形综合
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,A1,0，B0,2，抛物线y=12x2+bx−2的图象经过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个动点，连接BC，BD，AD．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在直线AB上方时，求△ABD面积的最大值；
(3)当点D在y轴右侧时：
①连接CD，当△BCD的面积是△OBC面积的一半时，直接写出点D的坐标______；
②设E(1,m)是抛物线对称轴上一动点，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的m的值．
13．如图：抛物线y=x2+bx+c与直线y=−x−1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点Pm,n是线段AB上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段PQ长的最大值
(3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标
14．已知：抛物线y=x2+(3+a)x+3a分别交x轴于A、B两点，交y轴于C点．
(1)若顶点D的横坐标为−1．
①求抛物线的解析式；
②如图①，直线y=−x−5分别与x轴，y轴交于E、F两点，将直线EF沿y轴正方向平移t(t>0)个单位得直线l，直线l和抛物线相交于点P、Q，是否存在t，使四边形EFQP为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，若直线MN平行于AC交抛物线于点M、N，直线MC与直线NA交于点G，若点G在定直线x=12上运动，求a的值．
15．如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于点A−2,0，点B3,0，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥x轴于点F，PF交BC于点D，求2PE+12AF的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B′，点M,N是第一象限内新抛物线上的点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，∠MNB′=∠C′B′N，请求出点M的坐标．
(4)在（3）的条件下，点G是新抛物线的对称轴上一点，在x轴上是否存在一点Q，使得以点G，Q,M,B′为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四、二次函数与矩形综合
16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A−5,0，B−1,0两点，与y轴交于点C0,5．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标；
(3)过点B的直线交直线AC于点M，连接BC，当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
17．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AD长为4，且AD位于第一象限，点A的坐标为(1,2)，点B,C在x轴上．抛物线T:y=ax2+bx+c经过点A和点D，且抛物线的顶点P在线段BC上，
(1)求抛物线T的解析式；
(2)矩形A1B1C1D1与矩形ABCD关于原点对称，平移抛物线T，
①若平移后的抛物线在矩形A1B1C1D1内的部分是轴对称图形，请探究抛物线T如何平移？
②将抛物线向左平移m个单位长度，向下平移n个单位长度，2n=m2−12m+39．若平移后的抛物线与矩形A1B1C1D1的一组对边分别相交于点E,F，是否存在直线EF平分矩形A1B1C1D1面积的情形？若存在，请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x−3交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线y=−x2+bx+c经过B、C两点且与x轴交于另一点A．
(1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC上方抛物线上一点，求△PBC面积的最大值及点P的坐标；
(3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，Qm+1,−m、Mm,−m为平面内任意两点，连接HM、QM，以HM、QM为边构造矩形HMQN．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围．
19．如图，在平面直角坐标系中，经过点A1,−2，B−3,−2的抛物线y=ax2+bx+1（a，b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D．点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为mm>−3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得AE+CE取得最小值，求E点坐标；
(3)若点M坐标为2m−3,−2，连结AM，取线段AM的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转90°得到点N，连结AN，以AM，AN为邻边构造矩形AMFN．
①设AQ的长为l，求l关于m的函数解析式；
②请直接写出当点P在矩形AMFN外部时，m的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx−3与直线y=x−3相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为m−2，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交直线y=x−3于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使PN与y轴垂直．
①当0