2022年中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习一（含答案）

2022年中考数学三轮冲刺

《四边形》解答题冲刺练习一

1.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）若AF=EF，∠BAF=108°，∠CDF=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．

2.如图,在□ABCD中,E,F分别在AD，BC边上,且AE=CF.

   求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．

3.已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．

(1)如图1，求证：AE=CF；

(2)如图2，当∠ADB=30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．

4.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N

（1）求证：AE=MN；

（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．

5.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．

（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；

（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

6.如图,△ABC的中线BE,CF相交于点G,P,Q分别是BG,CG的中点．

（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；

（2）请直接写出BG与GE的数量关系：              ．（不要求证明）
  

7.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.

(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.

8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.

(1)求EF的长；

(2)求四边形ABCE的面积.

0.答案解析

1.（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

∵BE=DF，∴OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDF=36°，∴∠AFB=180°﹣108°﹣36°=36°，

∴AB=AF，∵AF=EF，∴△ABF和△AFE是等腰三角形，

同理△EFC与△CDE是等腰三角形．

2.证明： (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C.

在△ABE与△CDF中，  ∴△ABE≌△CDF(SAS)．

(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC且AD∥BC. ∵AE=CF，∴DE=BF.

又DE∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形．

3.解：

(1)∵四边形ABCD为矩形∴AB∥CD且AB=CD∴∠ABE=∠CDF

∵AE⊥BD ∴∠AEB=90°

∵CE⊥BD ∴∠CFD=90°

∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF．

(2)△AFD，△ABE，△BEC，△FDC．

4.（1）证明：连接EC．

∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，

∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，

∴四边形EMCN为矩形．

∴MN=CE．

又∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中

∵，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=MN．

（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，

∵AE=2，∠DAE=30°，

∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，

∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．

5.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，

    ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，

    ∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，

    ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；

（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，

     在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．

6.（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF=0.5BC．

∵P，Q分别是BG，CG的中点，

∴PQ是△BCG的中位线，

∴PQ∥BC且PQ=0.5BC，

∴EF∥PQ且EF=PQ．

∴四边形EFPQ是平行四边形． 

（2）BG=2GE．

7.解：(1)PB=PQ.证明：连接PD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠ACD，∠BCD=90°，BC=CD，

又∵PC=PC，

∴△DCP≌△BCP(SAS)，

∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，

∵∠PBC＋∠PQC=180°，∠PQD＋∠PQC=180°，

∴∠PBC=∠PQD，

∴∠PDC=∠PQD，

∴PQ=PD，

∴PB=PQ

(2)PB=PQ.证明：连接PD，

同(1)可证△DCP≌△BCP，

∴PD=PB，∠PBC=∠PDC，

∵∠PBC=∠Q，

∴∠PDC=∠Q，

∴PD=PQ，

∴PB=PQ.

8.解：(1)设EF=x依题意知：△CDE≌△CFE，

∴DE=EF=x，CF=CD=6.

∵在Rt△ACD中，AC==10，

∴AF=AC﹣CF=4，AE=AD﹣DE=8﹣x.

在Rt△AEF中，有AE2=AF2+EF2

即(8﹣x)2=42+x2

解得x=3，即：EF=3.

(2)由(1)知：AE=8﹣3=5，

∴S梯形ABCE==(5+8)×6÷2=39.