2023年中考数学考前强化复习《二次函数与四边形综合题》精选练习(含答案)

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2023年中考数学考前强化复习
《二次函数与四边形综合题》精选练习
1.如图，直线y＝﹣x＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2＋x＋c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
















2.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当PO＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.




















3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(﹣2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标.



















4.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣3).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.




















5.如图，经过点C(0，﹣4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(﹣2，0)，B两点.
(1)a　 　0，b2﹣4ac　 　0(填“＞”或“＜”)；
(2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.




















6.如图，已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，且与轴相交于A、B两点(B点在A点的右侧)，与轴交于C点.
(1)A点的坐标是　 　；B点坐标是　 　；
(2)直线BC的解析式是：　 　；
(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使△PBC的面积最大.若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标.


















7.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B两点(A在B左)，y轴交于点C(0，﹣3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　



















8.如图1，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.
















9.如图，已知抛物线y＝αx2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.
(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M在抛物线的对称轴上，点N在y轴上，当以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标.



















10.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，4).
(1)求直线BC与抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当 MN的值最大时，求△BMN的周长.
(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝4S2，求点P的坐标.

参考答案
1.解：(1)当x＝0时，y＝4，∴B(0，4)，
当y＝0时，﹣x＋4＝0，x＝6，
∴C(6，0)，
把B(0，4)和C(6，0)代入抛物线y＝ax2＋x＋c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋x＋4；
(2)如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E(m，﹣m2＋m＋4)，则G(m，﹣m＋4)，
∴EG＝(﹣m2＋m＋4)﹣(﹣m＋4)＝﹣m2＋4m，
∴S△BEC＝EG•OC＝×6(﹣m2＋4m)＝﹣2(m﹣3)2＋18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E(3，8)；
(3)y＝﹣x2＋x＋4＝﹣(x2﹣5x＋﹣)＋4＝﹣(x﹣)2＋；
对称轴是：x＝，
∴A(﹣1，0)
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，由(2)，可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线y＝﹣x＋4上，
∴点M的坐标是(3，2)，
又∵点A的坐标是(﹣1，0)，点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，
∴P(﹣，﹣)；
②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，
由(2)，可得点M的横坐标是3，
∵A(﹣1，0)，且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为，
∴P(，﹣)；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
∴点P的坐标是(﹣，)，
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是(﹣，﹣)或(，﹣)或(﹣，).

2.解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，
∴A(4，0)，C(0，3)，
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线的顶点的横坐标为2，
∵顶点在BC边上，
∴抛物线顶点坐标为(2，3)，
设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2＋3，
把(0，0)坐标代入可得0＝a(0﹣2)2＋3，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣(x﹣2)2＋3，即y＝﹣x2＋3x；
(2)连接PA，如图，

∵点P在抛物线对称轴上，
∴PA＝PO，
∴PO＋PC＝PA＋PC.
当点P与点D重合时，PA＋PC＝AC；
当点P不与点D重合时，PA＋PC＞AC；
∴当点P与点D重合时，PO＋PC的值最小，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
根据题意，得，解得
∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋3，
当x＝2时，y＝﹣x＋3＝，则D(2，)，
∴当PO＋PC的值最小时，点P的坐标为(2，)；
(3)存在.
当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2，3)，则P(2，0)；
当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x＝6时，y＝﹣x2＋3x＝﹣9，此时Q(6，﹣9)，则点A(4，0)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C(0，3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P(2，﹣6)；
当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣x2＋3x＝﹣9，此时Q(﹣2，﹣9)，则点C(0，3)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A(4，0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P(2，﹣12)；
综上所述，P(2，0)，Q(2，3)或P(2，﹣6)，Q(6，﹣9)或P(2，﹣12)，Q(﹣2，﹣9).
3.解：(1)将A，C点坐标代入函数解析式，对称轴，得
，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋4；
(2)当y＝0时，﹣x2＋x＋4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，B(4，0)；
设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
∵B(4，0)，C(0，4)，
，解得
BC的解析式为y＝﹣x＋4，
过F点作FQ⊥x轴交BC于Q，如图，

设点Q的坐标是(m，﹣m＋4)，则点F的坐标是(m，﹣m2＋m＋4).
FQ＝(﹣m2＋m＋4)﹣(﹣m＋4)＝﹣m2＋2m，
S四边形ABCF＝S△ABC＋S△BCF＝BC•OC＋FQ•xB
＝×[4﹣(﹣2)]×4＋×4(﹣m2＋2m)
＝﹣m2＋4m＋12
＝﹣(m﹣2)2＋16，
当m＝2时，S四边形ABCF最大，最大值是16，
m＝2时，﹣m2＋m＋4＝4，即F点坐标是(2，4)；
(3)设直线BC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴，解得
BC的解析式为y＝﹣x＋4，
由y＝﹣x2＋x＋4＝﹣(x﹣1)2＋，
∴顶点D(1，)，
又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE＝﹣3＝.
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，
设点P的坐标是(m，﹣m＋4)，则点Q的坐标是(m，﹣m2＋m＋4).
①当0＜m＜4时，PQ＝(﹣m2＋m＋4)﹣(﹣m＋4)＝﹣m2＋2m，
由﹣m2＋2m＝，解得：m＝1或3.
当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，
∴m＝3，P1(3，1).
②当m＜0或m＞4时，PQ＝(﹣m＋4)﹣(﹣m2＋m＋4)＝m2﹣2m，
由m2﹣2m＝，解得m＝2±，经检验适合题意，
此时P2(2＋，2﹣)，P3(2﹣，2＋).
综上所述，满足题意的点P有三个，
分别是P1(3，1)，P2(2＋，2﹣)，P3(2﹣，2＋).
4.解：(1)把A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，﹣3)代入抛物线解析式得：
，解得：，
则该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)设直线BC解析式为y＝kx﹣3，
把B(﹣1，0)代入得：﹣k﹣3＝0，即k＝﹣3，
∴直线BC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∴直线AM解析式为y＝x＋m，
把A(3，0)代入得：1＋m＝0，即m＝﹣1，
∴直线AM解析式为y＝x﹣1，
联立得M(﹣，﹣)；
(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况考虑：
设Q(x，0)，P(m，m2﹣2m﹣3)，
当四边形BCQP为平行四边形时，由B(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
根据平移规律得：﹣1＋x＝0＋m，0＋0＝﹣3＋m2﹣2m﹣3，
解得：m＝1±，x＝2±，
当m＝1＋时，m2﹣2m﹣3＝8＋2﹣2﹣2﹣3＝3，即P(1＋，3)；
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝8﹣2﹣2＋2﹣3＝3，即P(1﹣，3)；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(﹣1，0)，C(0，﹣3)，
根据平移规律得：﹣1＋m＝0＋x，0＋m2﹣2m﹣3＝﹣3＋0，解得：m＝0或2，
当m＝0时，P(0，﹣3)(舍去)；当m＝2时，P(2，﹣3)，
当四边形BQCP是平行四边形时，
由平移规律得：﹣1＋0＝m＋x，0﹣3＝m2﹣2m﹣3，
解得：m＝0或2，x＝﹣1或﹣3，
当m＝0时，P(0，﹣3)(舍去)；当m＝2时，P(2，﹣3)，
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
P的坐标为(1＋，3)或(1﹣，3)或(2，﹣3).
5.解：(1)a＞0，b2﹣4ac＞0；
(2)∵直线x＝2是对称轴，A(﹣2，0)，
∴B(6，0)，
∵点C(0，﹣4)，将A，B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，
解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣4，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
(3)存在，理由为：
(i)假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y＝x2﹣﹣4关于直线x＝2对称，
∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC＝4，
∴E的纵坐标为﹣4，
∴存在点E(4，﹣4)；
(ii)假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，
则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC＝E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，
∴∠CAO＝∠E′F′G，
又∵∠COA＝∠E′GF′＝90°，AC＝E′F′，
∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G＝CO＝4，
∴点E′的纵坐标是4，
∴4＝x2﹣x﹣4，解得：x1＝2＋2，x2＝2﹣2，
∴点E′的坐标为(2＋2，4)，同理可得点E″的坐标为(2﹣2，4).
6.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，
∴得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋4.
当y＝0时，﹣x2＋x＋4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(8，0).
故答案为(﹣2，0)，(8，0).
(2)当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为(0，4).
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
将B(8，0)、C(0，4)代入y＝kx＋b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋4.
故答案为y＝﹣x＋4.
(3)假设存在，设点P的坐标为(x，﹣x2＋x＋4)，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，﹣x＋4)，如图所示.

∴PD＝﹣x2＋x＋4﹣(﹣x＋4)＝﹣x2＋2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•(﹣x2＋2x)＝﹣x2＋8x＝﹣(x﹣4)2＋16.
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16.
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16.
(4)如图，当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，

可得N1(N2)(6，4)，M2(4，0)，
N3(3﹣，﹣4)，N4(3＋，﹣4)，可得M3(5﹣，0)，M4(5＋，0)，
当AC为对角线时，可得M1(﹣8，0)，
综上所述，满足条件的点M的坐标为(﹣8，0)，(4，0)，(5＋，0)，(5﹣，0).
7.解：(1)把A(﹣1，0)C(0，﹣3)代入y＝x2＋bx＋c
得，解得得b＝﹣，c＝﹣3
∴抛物线为y＝x2﹣x﹣3；
(2)如图2，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M、N
在y＝x2﹣x﹣3中，令y＝0，得x1＝4，x2＝﹣1
∴B(4，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
代入B(4，0)，C(0，3)
可求得直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
∵S四边形ABDC＝S△ABC＋S△ADC＝(4＋1)×4＋，
设D(x，x2﹣x﹣3)，M(x，x﹣3)
DM＝x﹣3﹣(x2﹣x﹣3)＝﹣x2＋3x，
∵S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BDC＝(4＋1)×3＋(﹣x2＋3x)×4
＝﹣x2＋6x＋＝﹣(x﹣2)2＋，
∴当x＝2时，四边形ABDC面积有最大值为.

(3)如图3所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥BC交x轴于点E1，此时四边形BP1CE1为平行四边形，
∵C(0，﹣3)
∴设P1(x，﹣3)
∴x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝0，x2＝3，
∴P1(3，﹣3)；
②平移直线BC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当BC＝PE时，四边形BCEP为平行四边形，
∵C(0，﹣3)
∴设P(x，3)，
∴x2﹣x﹣3＝3，x2﹣3x﹣8＝0
解得x＝或x＝，此时存在点P2(，3)和P3(，3)，
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1(3，﹣3)，P2(，3)，P3(，3).
8.解：(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3.
(2)在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
当x＝0时，y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴点C的坐标为(0，3).
若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，DE＝ME，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，
∴点P的坐标为(2，3)，
∴点E的坐标为(1，3)，
∴点M的坐标为(1，6).
故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为(1，6).
(3)①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F.
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将B(3，0)、C(0，3)代入y＝mx＋n，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3.
∵点P的坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，
∴点F的坐标为(t，﹣t＋3)，
∴PF＝﹣t2＋2t＋3﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，
∴S＝PF•OB＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣)2＋.
②∵﹣＜0，
∴当t＝时，S取最大值，最大值为.
∵点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，
∴线段BC＝3，[来源:学_科_网]
∴P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为(，).

9.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(1，0)和B(3，0)，
∴.解得：.
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x＋3；
(2)如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P(m，m2﹣4m＋3)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋n，
∵点B(3，0)，点C(0，3)，
∴.解得：.
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3.
∴D(m，﹣m＋3).
∴PD＝(﹣m＋3)﹣(m2﹣4m＋3)＝﹣m2＋3m.
∵＝﹣＝﹣＋.
∵﹣