2025年中考数学考前冲刺：压轴题100题精选练习题（含答案）

这是一份2025年中考数学考前冲刺：压轴题100题精选练习题（含答案），共141页。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．
【002】A
C
B
P
Q
E
D
图16
如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004】如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．
（1）求的面积；
（2）求矩形的边与的长；
（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，
设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
（G）
（第26题）
的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
【005】如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
【006】如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
求证：BE=AD；
求证：AC是线段ED的垂直平分线；
△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．
（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①；
②．
（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
（图1）
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
（图2）
【010】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；
O
B
x
y
A
M
C
1
（4）当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
③
F
B
A
D
C
E
G
②
F
B
A
D
C
E
G
①

【012】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
【013】如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
O
x
y
A
B
C
4
1
【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.
（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
(第26题)
O
A
B
C
M
N
（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形
旋转的度数；
（3）设的周长为，在旋转正方形
的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.
【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
y
x
O
C
D
B
A
3
3
6
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；
若不存在，请说明理由．
【017】如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
y
x
B
A
O
D
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．
【018】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．
y
x
O
A
B
C
【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO
(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由
(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由
(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）
（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。
【021】如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；
（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【023】如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
A
D
C
B
P
M
Q
60°
（3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
【024】如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求抛物线的解析式；


（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．
【025】如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．
B
x
y
M
C
D
O
A
图12（1）
B
x
y
O
A
图12（2）
B
x
y
O
A
图12（3）
【026】如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH
（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个
单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B
重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯
形为DEFH′（如图12）.
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，
请求出此时t的值；若不能，请说明理由.
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠
部分的面积为y，求y与t的函数关系.
【027】阅读材料：
如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
图12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【028】如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【029】已知二次函数。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.
·
y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
A
B
x
D
【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？
(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.
请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.
(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC
的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.
A
B
O
m
第25题图1
O
第25题图2
A
B
O
E
第25题图3
D
C
F
G
D
C
【100】抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM的形状，并说明理由。
（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。
中考数学压轴题100题精选答案
【001】解：（1）抛物线经过点，
1分
二次函数的解析式为：3分
（2）为抛物线的顶点过作于，则，
4分
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H
当时，四边形是平行四边形
5分
当时，四边形是直角梯形
过作于，则
（如果没求出可由求）
6分
当时，四边形是等腰梯形
综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分
（3）由（2）及已知，是等边三角形
则
过作于，则8分
=9分
当时，的面积最小值为10分
此时
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
11分
【002】解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．
A
C
B
P
Q
E
D
图4
由△AQF∽△ABC，，
得．∴． ∴，
即．
（3）能．
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
，．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
，】
【003】解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得 0=64a+8b
解 得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为：y=－x2+4x …………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：－（4+t）2+4(4+t）=－t2+8. …………………5分
∴EG=－t2+8-(8-t) =－t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t1=， t2=，t3= ． …………………11分
【004】（1）解：由得点坐标为
由得点坐标为∴（2分）
由解得∴点的坐标为（3分）
∴（4分）
（2）解：∵点在上且 ∴点坐标为（5分）又∵点在上且∴点坐标为（6分）
∴（7分）
（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
（图3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图1）
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图2）
R
M
∴即∴
∴
即（10分）
图1
A
D
E
B
F
C
G
【005】（1）如图1，过点作于点1分
∵为的中点，
∴
在中，∴2分
∴
即点到的距离为3分
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，
同理4分
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在中，
∴的周长=6分
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，
∴7分
∵是等边三角形，∴
此时，8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
当时，如图4，这时
此时，
当时，如图5，
则又
∴
因此点与重合，为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．
【006】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，
设A（a,0）,B(b,0)AB=ba==，解得p=,但pPA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM=.
由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得, ,
∴. ………………1分∴CQ1==.则,
∴ .……………………………1分
第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则,∴.……1分
②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.
∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-
则.∴.
………………………1分
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.
【032】解：（1）在△ABC中，∵，，．
∴，解得． 4分
（2）①若AC为斜边，则，即，无解．
②若AB为斜边，则，解得，满足．
③若BC为斜边，则，解得，满足．
C
A
B
N
M
（第24题-1）
D
∴或． 9分
（3）在△ABC中，作于D，
设，△ABC的面积为S，则．
①若点D在线段AB上，
则．
∴，即．
∴，即．
∴（）． 11分
当时（满足），取最大值，从而S取最大值．13分
②若点D在线段MA上，
C
B
A
D
M
N
（第24题-2）
则．
同理可得，
（），
易知此时．
综合①②得，△ABC的最大面积为．14分
【033】第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
P1
P2
备用图
（1）.……………4分
（2）由题意得点与点′关于轴对称，，
将′的坐标代入得，
（不合题意，舍去），.……………2分
，点到轴的距离为3.
， ，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.……………2分
（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，
把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去），，.……………2分
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．……………2分
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
【034】解：（1）2. ……………2分
A
C
B
P
E
第（25）题
（2）证明：在上取点，使，
连结，再在上截取，连结．
，为正三角形，
=，
为正三角形，=，
=，
′，．
，
，为的费马点，
过的费马点，且=+．………2分
【035】解：（1）（1，0）1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度．2分
（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．
∴．
在Rt△AFB中， 3分
过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴． ．
∴． ∴．
设△OPQ的面积为（平方单位）
∴（0≤≤10） 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
∵AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分
【040】（1）解 ①如图1，当在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：
解得x=……（2分）
②如图3，当在△ABC内时，重叠部分是平行四边形,由题意得：
N= 列式得()×=
解得x=……（2分）
综上所述，当△与△重叠部分面积 为平方厘米时，△移动的时间为或（）秒。
图1
图2
图3
图1
（2） ①如图1，当0≤x≤时 ……（1分）
②如图2，当≤x≤时，如图，△DN, △,△是等腰直角三角形， N＝，GF=MN=,
即…(3分)
③如图3，当≤x≤时，…（1分）
（3）①当0≤x≤时， ……（1分）
②当≤x≤时， ……（2分）
③当≤x≤时， ……（1分）
所以，△与△重叠部分面积的最大值为5。
【041】（1）如图（3分）
y（千米）
x（小时）
150
100
50
-1
1
0
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
D
E
（2）2次（5分）
（3）如图，设直线的解析式为，
图象过，
．①（7分）
设直线的解析式为，
图象过，
．②（7分）
解由①、②组成的方程组得
最后一次相遇时距离乌鲁木齐市的距离为112.5千米．（12分）
【042】解：（1）∵点是的中点，∴，∴．
又∵是的角平分线，∴，
∴，∴．3分
（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．
y
O
x
D
B
P
E
F
M
易知点的坐标为（2，2），故，作，
∵是等腰直角三角形，∴，
∴点的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为．
又∵抛物线经过点和点，∴有 解得
∴抛物线的解析式为．7分
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．
连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．
∵抛物线的顶点的坐标，点的坐标，
设所在直线的解析式为，则有，解得．
∴所在直线的解析式为．
点满足，解得，故点的坐标为．
的周长即是．
（4）存在点，使．其坐标是或．14分
【043】解（Ⅰ），
.1分
将分别代入，得
，
解得.函数的解析式为．3分
（Ⅱ）由已知，得，设的高为，
，即.
根据题意，，由，得.
当时，解得；
当时，解得.
的值为.6分
（Ⅲ）由已知，得.
，，
，化简得.
，得， .
有.
又，，，
当时，；当时，；
当时，.10分
【044】(1) 配方,得y=(x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．
取x=0代入y=x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分
设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有
解得∴直线l的解析式为y=x–3．3分
(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．[来源:Z。xx。k.Cm]
由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．
据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，
∴ AF=·AC=，DF=·O′A=，5分
又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，
∴ 点D的坐标为(，–)．
(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．
故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．[来源:学_科_网]
令x2–2x＋1=x–，解得 x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，
因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB．
【045】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得
∴抛物线的解折式为…（2分）
（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为
即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上
∴ 解得（舍去），
∴E的坐标为（4，3）……（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得
即，∴a＝ ∴P1（，0）……（5分）
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）……（6分）
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE
由得 解得，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB
要使最大，即是使最大
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为∴由 得
∴M（，－）……（11分）
【046】网]（1）解：由得点坐标为
由得点坐标为∴（2分）
由解得∴点的坐标为（3分）
∴（4分）
（2）解：∵点在上且
∴点坐标为（5分）又∵点在上且
∴点坐标为（6分）∴（7分）
（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
（图3）
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图1）
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
（图2）
R
M
∴即∴
∴
即
【047】解：方法一：如图（1-1），连接．
N
图（1-1）
A
B
C
D
E
F
M
由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
∴垂直平分．∴1分
∵四边形是正方形，∴
∵设则
在中，．∴解得，即3分
在和在中，，，
5分
设则∴
解得即 ∴7分
方法二：同方法一，3分
如图（1－2），过点做交于点，连接
N
图（1-2）
A
B
C
D
E
F
M
G

∵∴四边形是平行四边形．
∴
同理，四边形也是平行四边形．∴
∵

在与中
∴５分
∵∴7分
类比归纳
（或）；； 12分
【048】解：（1）由题意得 6=a(－2＋3)(－2－1)，∴a=－2，
∴抛物线的函数解析式为y=－2(x＋3)(x－1)与x轴交于B（－3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx＋b，则有0=k＋b，6=－2k＋b，解得 k=－2，b=2，
∴直线AC为y=－2x＋2
（2）①设P的横坐标为a(－2≤a≤1)，则P（a，－2a＋2），M（a，－2a2－4a＋6）
∴PM=－2a2－4a＋6－(－2a＋2)=－2a2－2a＋4=－2a2＋a＋14＋92
=-2a+122+92，∴当a=-12时，PM的最大值为926分
②M1（0，6）M2-14，678
【049】解：（1）由题意得 解得
∴此抛物线的解析式为3分
（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.
（第24题图）
O
A
C
x
y
B
E
P
D
设直线的表达式为则解得
∴此直线的表达式为
把代入得∴点的坐标为
（3）存在最大值，理由：∵即
∴∴即
∴
方法一：连结，
=[来源:Z。xx。k.Cm]
=，∵∴当时，9分
方法二：
=
=，∵∴当时，9分
【050】解：（1）∵A
E
D
Q
P
B
F
C
N
M
∴．而，
∴，∴．∴当．
（2）∵平行且等于，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，∴．∴．
∴．．∴．
过B作，交于，过作，交于．
．∵，
∴．又，，，
，．
（3）．
若，则有，解得．
（4）在和中，
∴．
∴在运动过程中，五边形的面积不变．
【051】解：（1），（-1，0），B（3，0）．3分
（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．
则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．6分
图14（2）
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．
（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．
则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=，
△DOB的面积=-（），
∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
==．
∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．
（4）有两种情况：
图14（3） 图14（4）
如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为．12分
由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．13分
如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 点F的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF的解析式为．14分
由 解得
∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），
使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
y
x
O
B
A
D
C
(x=m)
(F2)F1
E1 (E2)
【052】解：（1）根据题意，得
解得．．（2分）
（2）当时，得或，
∵，当时，得，
∴，∵点在第四象限，∴．（4分）
当时，得，∴，
∵点在第四象限，∴．（6分）
（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则
，点的横坐标为，
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，∴，∴，
∴，∴（舍去），∴，
∴．（9分）
当点的坐标为时，点的坐标为，
∵点在抛物线的图象上，∴，∴，
∴，∴（舍去），，∴，∴．
【053】解：（1）设，把代入，得，2分
∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为．5分
（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，
得解得．∴直线解析式为．7分
，∴9分
．10分
∴当时，取得最大值，最大值为．11分
(E)
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
x
O
F
M
H
（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．
作点关于直线的对称点，连接．
法一：过作轴于，交轴于点．
设，则．
在中，由勾股定理，．
解得．∵，∴．
由，可得，．∴．
∴坐标．13分
法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．
易证．(E)
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
x
O
F
M
H
N
M
∴．
设，则．∴，．
由三角形中位线定理，．
∴，即．
∴坐标．13分
把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．14分
【054】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，
得解得
∴抛物线对应的函数关系式为：．（2分）
（2）当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．
当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．（5分）
（3）当≤2时，．S．
当≤5时，．S．（8分）
B
A
D
C
O
M
N
x
y
P1
P2
当时，S的最大值为2．（10分）
【055】（1）过点作轴，垂足为，
；
又，
，
点的坐标为；4分
（2）抛物线经过点，则得到，5分
解得，所以抛物线的解析式为；7分
（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，8分
过点作轴，；
，可求得点；11分
若以点为直角顶点；
则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，12分
过点作轴，同理可证；13分
，可求得点；14分
经检验，点与点都在抛物线上．16分
【056】解：（1） C（3，0）；
（2）①抛物线，令=0，则=， ∴A点坐标（0，c）．
∵，∴ ，∴点P的坐标为（）．
∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）． ……………………………………5分
根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（），∴．……………6分
∴．又∵，∴．∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则． ∴．
∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．
设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），
∴，∴，∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．
∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．
【057】(1)
(2)∵，，∴
当点 在上运动时，，
；
当点 在上运动时，作于点，
有∵，∴
∴
（3）当时，，，
E
C
B
y
P
A
此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；
当时，，，此时，、
【058】解：（1）令，得 解得，令，得
∴ A B C 3分
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB，∴PAB=，过点P作PE轴于E，
则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去） ∴PE=4分
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=5分
(3)． 假设存在∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=，在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 6分
G
M
C
B
y
P
A
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时，有=∵AG=，
MG=即 解得（舍去）
（舍去）………7分
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
G
M
C
B
y
P
A
即 ，解得：（舍去）
∴M 8分
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴ 解得（舍去） ∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有= 即
解得：（舍去） ∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图（1）
H
【059】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG …………4分
（2）∠FCN＝45º …………5分
理由是：作FH⊥MN于H
∵∠AEF＝∠ABE＝90º
∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º
∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º
∴△EFH≌△ABE …………7分
∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH
∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º …………8分
M
B
E
A
C
N
D
F
G
图（2）
H
（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分
理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º
结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ……11分
∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴EQ \f(EH, AB)＝EQ \f(FH,BE)＝EQ \f(FH,CH)
∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝EQ \f(FH,CH)＝EQ \f(EH, AB)＝EQ \f(b,a)
B
A
O
C
y
x
第26题图
Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1
P2
D
C
P4
∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝EQ \f(b,a)
【060】解：（1）根据题意，得
，解得
抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）
（2），设直线的解析式为
直线经过点点
（3）存在．，，，
【061】解（1）A（，0），B（0，3）2分（每对一个给1分）
（2）满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分． （注：画垂线PF不用尺规作图的不扣分）
（3）过点P作PD⊥轴于D，则PD=，BD=，6分
y
x
O
A
B
D
P
F
PB=PF=，∵△BDP为直角三形，∴
∴，即
即∴与的函数关系为
（4）存在
解法1：∵⊙P与轴相切于点F，且与直线相切于点B
∴，∵，∴
∵AF= ， ∴，∴ 11分
把代入，得
∴点P的坐标为（1，）或（9，15）12分
【062】解：实践应用（1）2；．；．（2）．
拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．
又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了（周）．
∴⊙O共自转了（+1）周．
（2）+1．
【063】（1）① 对称轴（2分）
② 当时，有，解之，得 ，
∴ 点A的坐标为（，0）．（4分）
（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）．（7分）
（3）存在．当时， ∴ 点C的坐标为（0，3）
∵ DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3
∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1（9分）
∴ 4
在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC
分成面积相等的两部分，交抛物线于点M．（10分）
设直线CM的解析式为，它经过点．则 （11分）
解之，得 ∴ 直线CM的解析式为 （12分）
B
O
A
·
x
y
第28题图
P
H
【064】解：（1）抛物线与y轴的交于点B，令x=0得y=2．
∴B（0，2）
∵ ∴A（—2，3）
（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时，
．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，．
综合上述：
（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点 8分
作AH⊥OP于H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP
∴ 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P（4，0）
【065】解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）
∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）
∵∠ABC＝60º（已知）
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）
∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）
即⊙O的直径为4cm．
（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD＝90º（垂直的定义）∵∠BAC＝ 30º（已求）
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º∴OD＝2OC＝4cm∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）
∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．
（3）根据题意得：
BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC
∴BE：BA＝BF：BC即：（4－2t）：4＝t：2解得：t＝1
如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA
∴BE：BC＝BF：BA即：（4－2t）：2＝t：4解得：t＝1.6
∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．
【066】（1）由得，代入反比例函数中，得
∴反比例函数解析式为：2分
解方程组由化简得：
，所以5分
（2）无论点在之间怎样滑动，与总能相似．因为两点纵坐标相等，所以轴．
又因为轴，所以为直角三角形．
同时也是直角三角形，
8分
（在理由中只要能说出轴，即可得分．）
【067】（1）解：∵直角梯形
O
A
P
D
B
Q
C
当时，四边形
为平行四边形．
由题意可知：
当时，四边形为平行四边形．3分
O
A
P
D
B
Q
C
H
E
（2）解：设与相切于点
过点作垂足为
直角梯形
由题意可知：
为的直径，
为的切线
5分
在中，，
即：，，
，因为在边运动的时间为秒
而，（舍去），当秒时，与相切．8分
【068】解：（1）如图4，过B作
则
过Q作
则
（2分）
要使四边形PABQ是等腰梯形，则，
即
或（此时是平行四边形，不合题意，舍去）（3分）
（2）当时，。
（4分）
（5分）
（6分）
（3）①当时，则
（7分）
②当时，
即（8分）
③当时， （9分）
综上，当时，△PQF是等腰三角形．（10分）
【069】解 （1）易求得点的坐标为
由题设可知是方程即 的两根，
所以，所（1分）
如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则（2分）
由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，
所以点D的坐标为（0，1）（3分）
（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，
所以点的坐标为，即（4分）
又，
所以解得（6分）
【070】解：（1）6．（2）8．（3分）
（3）①当0时，
Q1
A
B
C
D
Q2
P3
Q3
E
P2
P1
O
． （5分）
②当3时，
=（7分）
③当时，设与交于点．
(解法一)
过作则为等边三角形．
．
．（10分）
（解法二）
如右图，过点作于点，，于点
过点作交延长线于点．
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H
F
又
又
（10分）
【071】解：（1）由题意得，解得
∴此抛物线的解析式为3分
（第24题图）
O
A
C
x
y
B
E
P
D
（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.
设直线的表达式为
则 解得
∴此直线的表达式为……5分
把代入得∴点的坐标为6分
（3）存在最大值7分
理由：∵即
∴∴即
∴
方法一：
连结
=
=8分
∵，∴当时，9分
方法二：
=
=8分
∵，∴当时，9分
【072】解：（1）①，，，S梯形OABC=12
②当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积
（2） 存在 ，
对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：
以点D为直角顶点，作轴

设.（图示阴影），在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）E点在0点与A点之间不可能；
② 以点E为直角顶点

同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得 ；
第二类如上解法②中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得 ，
第三类如上解法③中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即解得
（与重合舍去）．
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出设，则P点的情形如下
【073】(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．
∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分
(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．
又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，
∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．
(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：
O
y
x
C
D
B
A
D1
O1
O2
O3
P
60°
（第22题答图）
l
∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11
又易证四边形MONP是矩形，
∴OP＝
【074】（1）解：由题意得，
点坐标为．在中，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，由过两点，得
解得直线的解析式为：．
（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，
与轴相切于点，连接．则
轴，，
在中，．6分
，，
（秒）平移的时间为5秒．8分
【075】解：（1）对称轴是直线：，
点A的坐标是（3，0）．2分
（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）
（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，
解法一：利用
∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、C（0，），
∴AO＝3，MD=1．由得∴ 3分
又∵∴由 得
∴函数解析式为： 6分
解法二：利用以AD为直径的圆经过点C
∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，），
∴，，∵
∴…① 又∵…② 4分
由①、②得 ∴函数解析式为： 6分
（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则∥，并且＝．
∵=4，∴=4 ，由于对称为，∴点F的横坐标为5．7分
y
x
O
A
B
C
D
图11
E
F
将代入得，∴F（5，12）．
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧
抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是
平行四边形，此时点F坐标为（，12）．
当四边形BEAF是平行四边形时，
点F即为点D，此时点F的坐标为（1，）．
综上所述，点F的坐标为（5，12），
（，12）或（1，）．
【076】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，
又D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 .
∴ 解得
∴抛物线的解析式为： …… 4分
（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得. 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.
∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.
把x=3代入，得， ∴点E在抛物线上.
（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分两种情形： ①当S1∶S2 =1∶3时，，
此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6，由S1=2，得，解得；
②当S1∶S2=3∶1时，，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由S1= 6，得，解得，综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分
法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.
下面分两种情形：①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；
∴4a－7 = 2，解得；……………………………………………… 12分
②当S1∶S2 = 3∶1时，； ∴4a－7 = 6，解得；
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分
[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. ]
【077】解：（1）把B（0，6）代入，得＝6………………………1分
把＝0代入，得＝8
∴点A的坐标为（8，0）…………… 3分
（2）在矩形OACB中，AC＝OB＝6，
BC＝OA＝8，∠C＝90°
∴AB＝
∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝90°
，∴∴∴
又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD
∴，即，∴
∵，∴ （）……………………………7分 （注：写成不扣分）
② ⊙Q是△OAB的内切圆 ，可设⊙Q的半径为r
∵,解得r=2.………………………………………8分
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H
可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点 I、J ，过Q作QM⊥IJ于点M，连结IQ、QG， ∵QI＝2，
∴ ∴ 在矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6
∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，由，得
∴点P的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分
当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………………………12分
综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。
【078】（1）2分
（2）∵，∴点的横坐标为，
①当，即时，，
∴．3分
②当时，，
∴．∴4分
当，即时，，
∴当时，有最大值．6分
（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得．7 分
L
A
O
P
B
x
y
L1
23题图-1
Q
C
下证．连，则四边形是正方形．
法一：（i）当点在线段上，在线段上
（与不重合）时，如图–1．
由对称性，得，
∴ ，
∴ ．8分
（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图–2，如图–3
∵， ∴． 9分
（iii）当点与点重合时，显然．
综合（i）（ii）（iii），．
y
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-3
Q
C
2
1
∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．11 分
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-2
Q
C
2
1
y
法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得． 7 分
延长与交于点．
（i）如图–4，当点在线段上（与不重合）时，
∵四边形是正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形．
∴．
L
A
O
P
B
x
y
L1
23题图-1
Q
C
又∵， ∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴． 8分
（ii）当点与点重合时，显然． 9分
（iii）在线段的延长线上时，如图–5，
∵，∠1=∠2
∴
综合（i）（ii）（iii），．
∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分
23题图-4
L
A
O
M
P
B
x
y
L1
Q
C
N
y
L
A
O
P
B
x
L1
23题图-5
Q
C
2
1
法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，
则，O两点关于直线对称，所以，得． 9分
连，∵，，，
∴，
．
∴，∴．10分
∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 11分
【079】解：（1）解得
，1分
在中，由勾股定理有，
（2）∵点在轴上，，，
1分
由已知可知D（6，4），设当时有
解得，同理时，1分
在中，
在中，，，
C
P
Q
B
A
M
D
N
（3）满足条件的点有四个，4分
说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评
【080】（1）过点作，垂足为．则，
C
P
Q
B
A
M
N
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，
即时，四边形是矩形，
秒时，四边形是矩形．
C
P
Q
B
A
M
N
，
（2）当时，
当时
C
P
Q
B
A
M
N
当时，
10分
【081】解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．3分
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．4分
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．5分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．6分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；6分
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．7分
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．7分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．8分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．9分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．10分
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．10分
附加题：解：（1）8；5分
（2）2．10分
【082】（09上海）略
【083】. 解：（1）B（1，）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，
因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
C
B
A
O
y
x
设直线AB为y=kx+b.所以，
因此直线AB为，
当x=－1时，，
因此点C的坐标为（－1，）.
D
B
A
O
y
x
P
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.
【084】解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，
∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=.
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
∴∴，
∴，∴.
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，
∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
【085】解: (1)由题知: ……………………………………1 分
解得: ……………………………………………………………2分
∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分
(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )
或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分
(3)解法①：
过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )
∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分
∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF
=( a＋3 )·(－－2a＋3) + (－－2a＋6)·（－a）……………………………9 分
=………………………………………………………………………10 分
=－+
∴ 当a =－时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分
此时，点E 坐标为 (－，)……………………………………………………12分
解法②：
过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分
则S四边形BOCE = (3 + y )·(－x) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分
= ( y－x)= ( ) …………………………………10 分
= － +
∴ 当x =－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分
此时，点E 坐标为 (－，) ……………………………………………………12分
【086】⑴证明：∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90
又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，
∴AM=ME，∠AMN=EMN
又∵MN=MN，
∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF·AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90
∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，
又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，
∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，
∴AM=ME=EN=AN
∴四边形AMEN是菱形
∵cs∠ABD=，∠ADB=90
∴
设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理
而AD=12，∴x=3
∴BD=9，AB=15
∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15
∴DE=BE-BD=6
∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE
∴△BND∽△BME，则
设ME=x，则ND=12-x，，解得x=
∴S=ME·DE=×6=45
【087】（天门）略
【088】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为．
把，代入上式得：1分
解得3分
∴所求抛物线解析式为4分
法二：∵，，
∴抛物线的对称轴是直线．
设抛物线解析式为（）1分
把，代入得
解得3分
∴所求抛物线解析式为．4分
（2）分三种情况：
①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，
2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
P
第26题图1
Q
F
∵，在中，，，
在中，，，
∴，
2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
第26题图2
Q
F
G
P
H
∴．6分
②当，设交于点，作轴于点，
，则四边形是等腰梯形，
重叠部分的面积是．
∴，
∴．8分
③当，设与交于点，交于点，重叠部分的面积是．
2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
第26题图3
Q
F
M
P
N
因为和都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是．
∵，，
∴，
∴，
∴
．10分
（3）存在 12分
14分
【089】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，
．2分
点在抛物线上，将的坐标代入
，得： 解之，得：
抛物线的解析式为：．4分
（2）
抛物线的对称轴为，
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A
P
．6分
连结，
，，
又，
，
．8分
（3）点在抛物线上．9分
设过点的直线为：，
将点的坐标代入，得：，
直线为：．10分
过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，
将代入，得：．
点的坐标为，11分
当时，，
所以，点在抛物线上．12分
说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．
【090】（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线 得
1分
整理得 ……………… 2分 解得………………3分
∴抛物线的解析式为 4分
（2）令 解得
∴ B点坐标为（4，0）
又∵D点坐标为（0，） ∴AB∥CD ∴四边形ABCD是梯形．
D
O
B
A
x
y
C
B
C
y=kx+1
图(9) -1
H
T
∴S梯形ABCD ＝5分
设直线与x轴的交点为H，
与CD的交点为T，
则H（，0）， T（，）6分
∵直线将四边形ABCD面积二等分
∴S梯形AHTD ＝S梯形ABCD＝４
E
F
M
N
G
O
B
A
x
y
图(9) -2
∴7分
∴8分
（3）∵MG⊥轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2
∴设M（m，），9分
∵点M在抛物线上 ∴
解得（舍去） 10分
∴M点坐标为（3，）11分
根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，
∴N点坐标为（1，） 12分
【091】(1)解：法1：由题意得 eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs8(n＝2＋c，,2n－1＝2＋c.)) ……1分
解得 eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs8(n＝1，,c＝－1.)) ……2分
法2：∵ 抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝ eq \f(1,2)，
且 eq \f(1,2)－(－1) ＝2－ eq \f(1,2)，∴ A、B两点关于对称轴对称.
∴ n＝2n－1 ……1分
∴ n＝1，c＝－1. ……2分
∴ 有 y＝x2－x－1 ……3分
＝(x－ eq \f(1,2))2－ eq \f(5,4).
∴ 二次函数y＝x2－x－1的最小值是－ eq \f(5,4). ……4分
(2)解：∵ 点P(m，m)(m＞0)，
∴ PO＝ eq \r(2)m.
∴ 2 eq \r(2)≤ eq \r(2)m ≤ eq \r(2)＋2.
∴ 2≤m≤1＋ eq \r(2). ……5分
法1： ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，
∴ m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m.
∵ 开口向下，且对称轴m＝1，
∴ 当2≤m≤1＋ eq \r(2) 时，
有 －1≤c≤0. ……6分
法2：∵ 2≤m≤1＋ eq \r(2)，
∴ 1≤m－1≤ eq \r(2).
∴ 1≤(m－1)2≤2.
∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，
∴ m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.
∴ 1≤1－c≤2.
∴ －1≤c≤0. ……6分
∵ 点D、E关于原点成中心对称，
法1： ∴ x2＝－x1，y2＝－y1.
∴ eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs8(y1＝x12－x1＋c，,－y1＝x12＋x1＋c.))
∴ 2y1＝－2x1， y1＝－x1.
设直线DE：y＝kx.
有 －x1＝kx1.
由题意，存在x1≠x2.
∴ 存在x1，使x1≠0. ……7分
∴ k＝－1.
∴ 直线DE： y＝－x. ……8分
法2：设直线DE：y＝kx.
则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1) x＋c＝0.
∵ －1≤c≤0，
∴ (k＋1)2－4c≥0.
∴ 方程x2－(k＋1) x＋c＝0有实数根. ……7分
∵ x1＋x2＝0，
∴ k＋1＝0.
∴ k＝－1.
∴ 直线DE： y＝－x. ……8分
若 eq \b\lc\{( eq \a\al\c1\vs8(y＝－x，,y＝x2－x＋c＋ eq \f(3,8).))则有 x2＋c＋ eq \f(3,8)＝0.即 x2＝－c－ eq \f(3,8).
① 当 －c－ eq \f(3,8)＝0时，即c＝－ eq \f(3,8)时，方程x2＝－c－ eq \f(3,8)有相同的实数根，
即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋ eq \f(3,8)有唯一交点. ……9分
② 当 －c－ eq \f(3,8)＞0时，即c＜－ eq \f(3,8)时，即－1≤c＜－ eq \f(3,8)时，
方程x2＝－c－ eq \f(3,8)有两个不同实数根，
即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋ eq \f(3,8)有两个不同的交点. ……10分
③ 当 －c－ eq \f(3,8)＜0时，即c＞－ eq \f(3,8)时，即－ eq \f(3,8)＜c≤0时，
方程x2＝－c－ eq \f(3,8)没有实数根，
即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋ eq \f(3,8)没有交点. ……11分
【092】解：A
B
C
（1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC．
∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，
故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）
即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）
（大致说清理由即可）
（2）由题意，y=x2+mx－m与 y=1（线段AB）相交，
得， （3分）∴1＝x2+mx－m，
由 (x－1)(x+1+m)=0，得．
∵=1