北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时练习

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式课时练习，共7页。试卷主要包含了课本再现，如图，对一个正方形进行了分割等内容，欢迎下载使用。

（1）若要拼成一个长为3x+2，宽为x+3的长方形，则需要A型纸片______张，B型纸片______张，C型纸片______张．
（2）现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数．
（3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为x+2，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况）
2．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到a−b2、a+b2、ab三者之间的等量关系式：
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式：
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知a+b=7，ab=134，求a−b的值；
（2）已知a+b−6+(ab−7)2=0，求a3+b3的值．
3．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_______；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①_______；
②_______．
（3）观察图2你能写出m+n2，m−n2，mn三个代数式之间的等量_______．
（4）用完全平方公式和非负数的性质求代数式2x2+4x+3y2−18y+32的最小值．
4．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a， 宽 为b(a>b) 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形。
（1）用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab 三者之间的等量关系式：
利用上面所得的结论解答：已知a-b=5，ab=114，求a+b 的值。
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)3= 。
②利用上面所得的结论解答：a+b=6，ab=7，求 a3+b3 的值。
5．请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题：
（1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来；
（2）如果图中的a，b满足a2+b2=57，a+b=9，求ab的值；
（3）已知2x+52+2x+32=60，求2x+52x+3的值．
6．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A，B型是边长分别为a，b（b>a）的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用1张A型纸板，1张B型纸板和2张C型纸板拼接（无缝隙不重叠）成如图2所示的大正方形．
（1）如图2，大正方形的边长为 ，利用大正方形的面积，可得到一个关于a，b的乘法公式为 ；
（2）已知图2中拼成的大正方形的面积为81，1张A型纸板和1张B型纸板的面积之和为25，求1张C型纸板的面积；
（3）若图2中拼成的大正方形的边长为8，C型纸板的面积为15，用2张A型纸板和2张B型纸板拼成如图3所示的图形，求阴影部分正方形的边长．
7．通常， 用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式。如图， 将一个边长为 a+b 的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件， 用两种方法表示该图形的总面积， 可得如下公式： ；
（2） 如果图 中的 a,b(a>b>0) 满足 a2+b2=70,ab= 15 ， 求 (a−b)2 的值.
8．（1）课本再现： 如图1， 2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是 ，图2验证的是 ；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=6，xy=−2，求 x2+y2的值；
②求9×1.22−16×1.42的值．
9．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若x+y=5,x⋅y=94，则x−y=________；
（3）拓展应用：若(2019−m)2+(m−2020)2=7，求(2019−m)(m−2020)的值．
10．如图，对一个正方形进行了分割：
（1）请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：
方法1：___________，方法2：___________．
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式(x+y)2，x2+y2，xy之间的等量关系为__________；
（3）利用等量关系解决问题：a+b=3，ab=−2，求a2+b2．
11．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：__________，方法2：__________；
（2）观察图2，请你写出三个代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的数量关系：__________；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b=7，a2+b2=33，求ab的值；
②已知(2024−a)2+(a−2022)2=8，求2024−aa−2022的值．
12．数学活动
【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）如图1是一个边长为a+b的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a−b和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：
图1：______；图2：______
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式a+b2，a−b2，ab之间的等量关系．
【解决问题】
（3）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，若AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）要A型纸片3张，B型纸片11张，C型纸片6张；
（2）4；
（3）方案1：A纸片1张，B纸片5张，C纸片6张
方案2：A纸片2张，B纸片6张，C纸片4张
方案3：A纸片3张，B纸片7张，C纸片2张
2．【答案】知识生成：a+b2−4ab=a−b2；知识迁移：a+b3=a3+b3+3a2b+3ab2；（1）a−b=±6；（2）a3+b3=90
3．【答案】（1）m−n
（2）①m−n2②m+n2−4mn
（3）m−n2=m+n2−4mn
（4）3
4．【答案】（1）解：整体大正方形的面积为：（a+b）2 四个长方形的面积与小正方形的面积为：（b-a）2+4ab
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab
∵ a-b=5，ab=114
∴（a+b）2=25+4×114=36
∴a+b>0
∴a+b=6
（2）解：①a3+b3+3a2b+3ab2.②由①可知：(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2∴a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2a3+b3=(a+b)3−3aba+b∵ a+b=6，ab=7∴a3+b3=63−3×7×6=90
5．【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2
（2）12
（3）28
6．【答案】（1）a+b，a+b2=a2+2ab+b2
（2）28
（3）2
7．【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2
（2）解： (a−b)2=a2+b2−2ab=70−2×15=40.
8．【答案】（1）a+b2=a2+2ab+b2；a+ba−b=a2−b2；（2）①40；②−18.4
9．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）±4；（3）-3
10．【答案】（1）(x+y)2，x2+2xy+y2
（2）(x+y)2=x2+2xy+y2
（3）13
11．【答案】（1）(a+b)2；a2+b2+2ab；
（2）a+b2=a2+b2+2ab；
（3）①ab=8；②−2．
12．【答案】（1）a+b2=a2+2ab+b2，a−b2=a2−2ab+b2；（2）a−b2=a+b2−4ab；（3）S△AFC=4．