北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式练习

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式练习，共10页。试卷主要包含了课本再现，阅读材料，【知识生成】等内容，欢迎下载使用。
（2）应用公式计算：
①已知x+y=5，xy=−1，求x2+y2的值；
②求20222−2021×2023的值．
2．【习题再现】苏科版初中数学七（下）教材第91页有这样一道试题：
用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形．
（1）设长方形的长为xm、宽为ym，用含x、y的代数式表示正方形的边长；
（2）已知长方形的长比宽多am，用含a的代数式表示正方形的面积与长方形的面积的差．
【方法提炼】小明通过对上述习题的解答体会到：将个别关键量设为字母，不仅可以方便列式运算，还会因为计算结果中不含这个字母，使问题得以巧妙解决．这是有效解题策略．
【实践应用】
（3）若M=2023202425×2023202422，N=2023202424×2023202423，比较M与N的大小；
（4）已知，如图，点C是线段AB上的一点，在AB的同侧作正方形ACDE与正方形CBGF，连接AD、AF、BD、BF，两个正方形的面积差为6，求阴影部分的面积．
3．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：__________；图2：__________．
【例题解析】：如图3，已知a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b=3，∴(a+b)2=9，即：a2+2ab+b2=9，
又∵ab=1，∴a2+b2=7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b=3，∴S大正方形=9，又∵ab=1，∴S2=S3=ab=1，
∴S1+S4=S大正方形−S2−S3=9−1−1=7．即a2+b2=7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若(3−x)(x+1)=3，则(3−x)2+(x+1)2=__________．
（3）如图4，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形，设AB=7，两正方形的面积和S1+S2=29，求图中阴影部分面积．
4．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．
（1）若图1中的阴影部分面积为a2−b2；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
（2）由（1）你可以得到乘法公式 ．
（3）根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：
①103×97；
②a+2b−ca−2b−c．
③2+122+124+128+1⋯264+1+1．
5．数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究：
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用a、b表示）；
（2）若abc≠0，请你画一个几何图形，证明(a+b+c)2≠a2+b2+c2，并根据你画的图形，直接写出(a+b+c)2正确的展开结果．
（3）计算(2m+n−1)2．
6．阅读材料：
已知：x满足9−xx−4=4，求9−x2+x−42的值．
设9−x=a，x−4=b，
则ab=9−xx−4=4，a+b=9−x+x−4=5，
因此9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17．
用上面的方法解下列问题：
（1）已知：5−xx−2=2，求5−x2+x−22的值；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是边AD、DC上的点，AE=1、CF=3，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF=______，DF=______（用含x的式子表示）；
②若长方形EMFD的面积是48，试求阴影部分的面积．
7．在学习《整式的乘除》时，对于整式乘法公式的验证，我们经常采用“算两次”的思想．现在有两张大小不一的正方形卡片，边长分别为a、b，小明同学通过用它们进行不同的拼接，验证了两个常见的整式乘法公式，具体拼接方法如下：
（1）若拼接方法如图1所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（2）若拼接方法如图2所示，阴影部分的面积可以表示为______________，还可以表示为______________，用这两次算面积的结果可以验证哪个等式？____________________________．
（3）拓展应用（下列两题，请任意选择一题作答即可）：
①若拼接方法如图3所示，且a+b=6，ab=4，则△ABC与△ACD的面积之和为______________．
②若拼接方法如图4所示，且a+b=6，a−b=4，则△BEF与△ACD的面积之差为______________．
8．（1）课本再现： 如图1， 2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是 ，图2验证的是 ；
（2）应用公式计算：
①已知x+y=6，xy=−2，求 x2+y2的值；
②求9×1.22−16×1.42的值．
9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
10．【知识生成】：
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为a的长方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母a，b表示）．
（1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．
如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式： ．
【问题探究】：
（2）①已知2m−n=3，2m+n=4，则4m2−n2的值为 ．
②如图 3，已知a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
【拓展计算】：
（3）1−1221−1321−142⋅...⋅1−1202221−120232
11．图（1）是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．
（1）图2中间空白的部分的面积是 ；
（2）观察图2，请你写出代数式(a+b)2、(a−b)2、ab之间的等量关系式 ；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y=−4，xy=3，求x−y的值．
12．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式①：x+y2=x−y2+4xy
公式②：x+y2=x2+2xy+y2
公式③：x2−y2=x+yx−y
公式④：x−px−q=x2−p+qx+pq
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______．（填序号）
（2）如图3，若p=3，q=6，且空白部分的面积为70，求大正方形的边长x的值．
为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为x−3x−6，小敏运用“整体思想”，设x−3=a，x−6=b，结合公式①，则可计算出a+b的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
（3）如图6，若p=q，空白部分的面积为121，且正方形ABCD与正方形EFGH的面积之和为241，求正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差．
答案解析部分
1．【答案】解：（1）：a+b2=a2+b2+2ab，a2−b2=a+ba−b；
（2）①∵x+y=5，xy=−1，
∴x2+y2=x+y2−2xy=52−2×(−1)=25+2=27.
②20222−2021×2023
=20222−2022−12022+1
=20222−20222−1
=20222−20222+1
=1
2．【答案】（1）x+y2cm；（2）14a2cm2；（3）M