初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式随堂练习题，共8页。
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式m+n2、m−n2、mn之间的等量关系是 ．
（3）若x+y=5，xy=2，则x−y2= ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ．当m=2，n=1，计算③的面积．
2．如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形m>n，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：_______；方法二：______；
（2）观察图b，直接写出代数式m+n2，m−n2，mn之间的关系；
（3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题：
①已知m+n=7，mn=6，求m−n2的值；
②已知：4−x5−x=6，求9−2x2的值．
3．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积，可以得到a+b2，a2+b2，ab之间的等量关系为__________；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知x+y=7，x2+y2=29，求xy和x−y2的值．
4．如图1所示是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系是_______________________；
（2）根据（1）中的结论，若m+n=7，mn=5，则m−n2=_________________；
（3）拓展应用：若2024−m2+m−20232=7，求(2024−m)(2023−m)的值．
5．将等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF 按如图所示摆放，点A，E，F，B在同一条直线上，∠B=∠DEF=90°，AB=BC=a，DE=EF=ba>2b 点E， G分别是AB，EF 的中点．
（1）S△DGF= ，S△ACD= ；（用含a，b的代数式表示）；
（2）若a+b=6，ab=6，求图中阴影部分的面积．
6．（1）如图1，对一个正方形进行了分割，可得到我们学习过的一个乘法公式，其为_______；
（2）利用（1）中等量关系解决下面的问题：
①a+b=3，ab=−2，求a2+b2的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，分别以BC，AC为边向线段AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
7．利用若干个长与宽分别为a、b的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
（1）由图1得到的等式是_________；
（2）由图2得到的等式是_________；
（3）若2023−m2024−m=6，利用（2）中的等式，求4047−2m的值．
8．将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b=2，ab=1求a2+b2的值．
解：∵a+b=2，
∴(a+b)2=4，即a2+2ab+b2=4．
又ab=1，
∴a2+2×1+b2=4，得a2+b2=2．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若a−b=5，a2+b2=21，则ab=__________；
（2）为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地ABCD、AEFG，(AB>AG)两个正方形面积和为232m2，两个正方形边长和为20m，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴a+b2=9，2ab=2，
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若a−b=2，ab=1，求a2+b2的值；
（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和为24，求△AFC的面积．
（3）若8−xx−5=1，求8−x2+x−52的值．
10．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
（1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长__________；请写出下列三个代数式a+b2，a−b2，ab之间的等量关系_________；
（2）若mn=134，m−n=−6，运用你所得到的公式，试求m+n的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两侧作正方形，两正方形的面积和S1+S2=50，图中阴影部分面积为314，求AB的长度．
11．数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式．
操作：图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
计算：
（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积．
①方法1： ；
②方法2： ．
总结：
（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出m+n2，m−n2，mn三个代数式之间的等量关系为 ．
应用：
（3）运用你所得到的公式，计算：
①若mn=5，m−n=4，求m+n2的值；
②若a−20232024−a=−12，求a−2023−2024−a2的值．
12．“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性．
（1）如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______．
（2）如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出a+b2、a−b2、ab之间的等量关系：______．
（3）根据（2）中的结论进行计算．已知：x−y=4，xy=654，求x+y的值．
（4）如图3，正方形ABCD与正方形FHJL的重合部分长方形EFGD的面积是2024，AE=32，CG=34，四边形DGHI和四边形EDKL都是正方形，求正方形FHJL的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）(m−n)2或(m+n)2−4mn
（2）(m−n)2=(m+n)2−4mn
（3）17
（4）2m+nm+n=2m2+3mn+n2，15
2．【答案】（1）m−n2，m+n2−4mn
（2）m−n2=m+n2−4mn
（3）①25；②25
3．【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab
（2）10，9
4．【答案】（1）a+b2=a−b2+4ab
（2）29
（3）3
5．【答案】（1）14b2，14a2−12ab；
（2）S阴影=3．
6．【答案】（1）(x+y)2=x2+y2+2xy；（2）①13；②4．
7．【答案】（1）a+b2=a2+2ab+b2
（2）a+b2=a−b2+4ab
（3）±5
8．【答案】（1）−2
（2）56m2
9．【答案】（1）a2+b2=2；
（2）S△AFC=20；
（3）8−x2+x−52=7．
10．【答案】（1）a−b，(a+b)2=(a−b)2+4ab
（2）7或−7；
（3）9
11．【答案】（1）①方法1：m−n2；②方法2：m+n2−4mn；（2）m+n2−4mn=m−n2；（3）①36；②49
12．【答案】（1）a+b2=a2+2ab+b2
（2）a+b2−a−b2=4ab
（3）±9
（4）8100