初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式同步测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式同步测试题，共8页。
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？
（2）利用（1）中的结论计算：m+n=2，mn=34，求m−n；
（3）根据（1）中的结论，直接写出x+1x和x−1x之间的关系；若x2−3x+1=0，分别求出x+1x和x−1x2的值．
2．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分正方形的边长是______（用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图2，写出(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中的结论，若x+y=5，xy=94则x−y= ．
3．嘉嘉同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）．这个图形的面积关系可验证的乘法公式是_______________．
（2）如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要3号卡片_____________张．
4．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：a2−b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a−b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2−b2=a+ba−b．
【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1： ，方法2： ，
（2）由（1）可得到一个等量关系式：
（3）若m+n=5，m2+n2=20，求m−n2的值．
5．如图，已知两个正方形A，B，先将B放在A的内部得图①，再将A，B并列放置后枃造新的正方形得图②．
（1）图①中阴影部分的面积可表示为______；
（2）图②中空白部分的面积可表示为______；
（3）图②中阴影部分的面积可表示为______；
（4）若图①中阴影部分的面积为5，图②中阴影部分的面积为15，求正方形A，B的面积之和．
6．【知识生成】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性可以帮助理解数学问题
（1）如图，将边长为a+b的正方形剪出两个边长分别为a,b的正方形（阴影部分），用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到乘法公式______；
【方法运用】
（2）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y=6，12xy=3，求x2+y2的值
②已知2021−x2+x−20242=49，求2021−xx−2024的值．
【拓展提升】
（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB,BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．
7．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是a+b2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到a+b2=a2+2ab+b2．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c=10，ab+ac+bc=38，求a2+b2+c2的值；
（3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a−b=2，ab=3，求图3中阴影部分的面积．
8．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（结果不化简）.
方法1： ；方法2： .
（2）观察图②，请写出(m+n)2，(m−n)2，mn三个式子之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求(a−b)2的值.
9．对于任意有理数a、 b、c、d，定义一种新运算： acbd=a2+b2−cd．
（1）12−13=______；
（2）对于有理数x、y，若 x+y=10，xy=22．
①求 2x−y3x−yyx−y的值：
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G 在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若 AD=x,AB=nx,FG=y,EF=ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值．
10．用1张边长为a的正方形纸片，1张边长为b的正方形纸片，2张长和宽分别为a，b的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形．
（1）观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含a，b的代数式表示）．
代数式1：____________；
代数式2：____________；
（2）从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来；
（3）利用（2）中得出的结论解决下面的问题：
①若a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；
②如图2，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE与正方形CFGB，若AB=7，两正方形的面积和为S1+S2=25．求图2中阴影部分的面积．
11．① ②
（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1： ．方法2：
（2）利用等量关系解决下面的问题：
a−b=5, ab=−6，求(a+b)2和a2+b2的值；
②已知x−1x=3，求x4+1x4的值．
12．数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式，如图1是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个大正方形．
【知识生成】
请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一：______________________________；
方法二：______________________________；
【得出结论】
根据（1）中的结论，请你写出代数式(m+n)2,(m−n)2，mn之间的等量关系为_____；
【知识迁移】
如图3，有两个正方形A和B边长分别为a和b，将B放入在A的内部如图4，此时阴影部分面积为14，将A和B并排放置后构造新的正方形如图5，此时阴影部分面积为114，则(a+b)2=_____．
答案解析部分
1．【答案】（1）a+b2−a−b2=4ab
（2）±1
（3）x+1x2−x−1x2=4，x+1x=3，x−1x2=5
2．【答案】（1）b−a
（2）(a+b)2−4ab=(a−b)2
（3）±4
3．【答案】（1）a+b2=a2+2ab+b2
（2）3
4．【答案】（1）a−b2，a+b2−4ab
（2）a−b2=a+b2−4ab
（3）15
5．【答案】（1）x−y2
（2）x2+y2
（3）x+y2−x2+y2
（4）20
6．【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab；（2）①24，②−20；（3）4
7．【答案】（1）a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）24
（3）52
8．【答案】（1）(m−n)2；(m+n)2−4mn
（2）解：(m−n)2=(m+n)2−4mn
（3）解：29
9．【答案】（1）−4
（2）①56；②2
10．【答案】（1）a2+b2；a+b2−2ab
（2）a2+b2=a+b2−2ab
（3）①6；②6
11．【答案】（1）m+n2−4mn；m−n2
（2）解：由（1）得：(m+n)2−4mn=(m−n)2，则：
①(a+b)2−4ab=(a−b)2，即(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∵a−b=5, ab=−6，
∴(a+b)2=52+4×(−6)=1，
∵(a+b)2=1，
∴a2+b2+2ab=1，
∴a2+b2=1−2ab=1−2×(−6)=13；
②∵x−1x=3，(x−1x)2=x2−2+1x2，
∴x2+1x2=(x−1x)2+2=11，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4=(x2+1x2)2−2=119．
12．【答案】知识生成：(m+n)2−4mn;(m−n)2；得出结论：(m+n)2−4mn=(m−n)2；知识迁移：234