高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆精品第2课时教案

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教学目标
进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．
会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．
能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、切线等问题，培养数学运算的核心素养.
教学重难点
重点：会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．
难点：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、切线等问题，培养数学运算的核心素养.
学情分析与教材分析
学情分析：
本节课主要探讨椭圆的简单几何性质的应用。学生们在此之前已经学习了椭圆的简单几何性质，对椭圆的简单几何性质有了初步的认识。如焦点、长轴、短轴、离心率等，将这些椭圆几何性质应用到距离他生活实例中，进一步的加强学生灵活应用数学知识解决一些实际问题的能力。
教材分析：
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质的应用.
通过本节课培养学生能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决转化来的数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养．能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质，讲解相关问题，发展逻辑推理和数学运算素养．学生能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会用方程研究曲线的方法．
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
教学过程
复习回顾，引入新知
教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空。
师生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充.
应用新知
例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到）
学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.
预设：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为．
在中，
由椭圆的性质知，，所以
所以，所求椭圆的方程为：
方法总结：椭圆有关的简单实际应用问题
根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程；
结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值
写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量
将所求的量，“翻译”成实际问题的解答
跟踪练习：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cm C．14cmD．18cm
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，
且，所以，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm.
故选：A．
设计意图：通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.
预设：如图3.1-12，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合
由此得
将上式两边平方，并化简，得
即
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.
方法总结：直接法求轨迹方程
（1）设动点：设所求动点坐标为(x,y)
（2）符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来
（3）标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理
跟踪练习：点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：设点到直线l的距离为d，依题意，，
于是，化简得，即.
所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图
椭圆第二定义:
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线.
由定义可知：
动点到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即;
动点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即.
例7 如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆：
（1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点?
师生：共同分析，直线与椭圆的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．
学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备.
预设：由方程组
消去，得
①
方程 = 1 \* GB3 ①的根的判别式：
由，得．此时方程 = 1 \* GB3 ①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
由，得，．此时方程 = 1 \* GB3 ①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
由，得或．此时方程 = 1 \* GB3 ①没有的实数根，直线与椭圆没有公共点.
方法总结：代数法判断直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离
1、联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程；
2、计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值
3、下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△