高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.通过实例，掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2.通过探究，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系；
3.通过对椭圆的几何性质的研究，初步学习利用曲线方程研究曲线性质的方法.

二、教学重难点
重点：椭圆的几何性质及其探究过程.
难点：利用曲线方程研究曲线的几何性质的基本方法，离心率的几何意义.

三、教学过程
创设情境
情境：下图是中国国家大剧院的照片,为什么国家大剧院最终会选择了半椭球形设计呢?其根本原因是椭球形非常美观,这源于椭圆的美!那么椭圆到底美在何处?它又具有哪些特性?
师生活动：通过观察椭圆的形状，师生讨论，明确本节课要研究的范围、对称性、顶点、扁平程度.教师给出研究的基本思路是数形结合，先“形”后“数”，即先观察椭圆的形状特征并提出猜想，再利用椭圆的标准方程进行推理验证.
设计意图：通过实例，明确本节课的研究问题和研究方法.
（二）探究新知
任务1：椭圆的简单几何性质.
探究1：观察椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的形状,你能从图上看出它的范围吗?
师生活动：教师给出探究问题，学生思考，教师评价.
答：通过观察椭圆的形状,得出椭圆上点的横、纵坐标的取值范围是−a≤x≤a,−b≤y≤b,即椭圆位于直线 x=±a和y=±b围成的矩形框里.如下图所示：
思考：你能利用方程给出椭圆范围的证明吗?
答：由方程x2a2+y2b2=1a>b>0，可知 y2b2=1−x2a2≥0，
所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式x2a2≤1，即−a≤x≤a.
同理有y2b2≤1，即−b≤y≤b.
这说明椭圆位于直线 x=±a和y=±b围成的矩形框里.
设计意图：明确研究椭圆的范围的实质是利用椭圆的方程来确定椭圆上点的横，纵坐标的取值范围，让学生初步掌握怎样用曲线方程来研究曲线的范围.
探究2：观察椭圆的形状，它具有怎样的对称性?
师生活动：教师引导学生观察椭圆的形状，启发学生思考.
答：它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
思考：你能利用方程给出椭圆对称性的证明吗?
答：在椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0中，以−y代换y，方程不变.这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x，−y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.
同理，以−x代换x，方程也不变，这说明如果点P(x，y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(−x，y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称.以−x代 x，以−y代换y，方程也不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(−x，−y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
总结：椭圆关于x轴、y轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
设计意图：明确研究椭圆的对称性的实质是研究椭圆上点的对称，让学生知道怎样通过曲线方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称.
探究3：观察下图,你认为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上哪些点比较特殊?为什么?
师生活动：师生讨论何为特殊点，即椭圆与坐标轴的交点.
答：A1，A2，B1，B2.
思考：如何得到这些点的坐标?
答：分别将x=0与y=0代入方程，得到椭圆与坐标轴的四个交点A1(−a，0)，
A2(a，0)，B1(0，−b)，B2(0，b).
总结：椭圆的顶点的定义：
椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标：A1(−a，0)，A2(a，0)，B1(0，−b)，B2(0，b).
线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
设计意图：明确椭圆的顶点的含义，让学生知道怎样通过曲线方程研究曲线的顶点.
探究4：在同一坐标系中作出x216+y29=1和x216+y24=1的图象(如图所示)，从图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度该如何刻画呢?
师生活动：学生交流讨论，得出就结论后，教师请同学进行回答.
思考：在a不变的情况下，随着b的变化椭圆的形状如何变化？
答：a不变，b越小，椭圆越扁；b越大，椭圆越圆.
思考：上述问题中，能不能用a和c刻画椭圆的扁圆程度？为什么？
答：可以，因为b=a2−c2，c越接近a，则b越小，椭圆越扁；反之b越大，椭圆越圆.
思考：当ca的值变化时,椭圆的形状如何变化?为什么？
答：因为ca=a2−b2a2=1−b2a2，当ca越大，即ba越小时，椭圆越扁；当ca越小，即ba越大时，椭圆越圆；当ca不变，即ba不变时，椭圆的扁圆程度不变.
总结：(1)椭圆的扁平程度与a，b或与a，c有关；
(2)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率，用e表示，即e=ca.
因为a>c>0，所以00.
在Rt∆BF1F2中，F2B=F1B2+F1F22=2.82+4.52.
由椭圆的性质知，F1B+F2B=2a，所以
a=12F1B+F2B=122.8+2.82+4.52≈4.1；
b=a2−c2=4.12−2.252≈3.4.
所以，所求的椭圆方程为y24.12+x23.42=1.
总结：求椭圆的标准方程的步骤：
若给定焦点坐标及椭圆上一点坐标求椭圆方程，可使用椭圆的定义先求出a，再根据b=a2−c2求出b，然后写出椭圆的标准方程；
利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
确定焦点在哪个坐标轴上；
依据已知条件及a2=b2+c2确定a，b，c的值；
写出椭圆的标准方程.
（3）求椭圆方程时，若没有指明焦点的位置，一般可设所求椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,且m≠n，再根据条件确定m，n的值，然后化成椭圆方程的标准形式.
设计意图：通过例2的学习，让学生掌握实际问题中椭圆标准方程的求法，培养学生的数学建模和数学运算核心素养.
（四）课堂练习
1.如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为14的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为( )
A. 3r+2RB. 5r+2RC. 5r+2R2D. 5r+2R3
解：由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
则e=ca，且r=a−c−R，解得a=r+R1−e，c=r+Re1−e，
故该卫星远地点离地面的距离为a+c−R=r+R1−e+er+R1−e−R=1+e1−er+2e1−eR，
又e=14，所以1+e1−er+2e1−eR=1+141−14r+2×141−14R=53r+23R=5r+2R3．
故选：D．
2.已知P为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一动点，F1、F2分别为其左右焦点，直线PF1与C的另一交点为A，△APF2的周长为16.若PF1的最大值为6，则该椭圆的离心率为( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
解：由题意，得△APF2的周长为AF1+AF2+PF1+PF2=2a+2a=4a=16，则a=4，
PF1的最大值为a+c=6，则c=2，
故该椭圆的离心率为ca=24=12．
故选：C．
3.已知AB是过椭圆x225+y216=1左焦点F1的弦，且|AF2|+|BF2|=12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是 ．
解：∵椭圆的方程为x225+y216=1，
∴a=5，b=4，可得c= a2−b2=3，
根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，
得(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=20，
∵AB是过椭圆x225+y216=1左焦点F1的弦，得|AF1|+|BF1|=|AB|，
∴|AB|=20−(|AF2|+|BF2|)=20−12=8．
故答案为：8．
4.求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆x24+y23=1有相同离心率且经过点(2,− 3);
(2)离心率为35，短轴长为8．
解：(1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x24+y23=t(t>0)，将点(2,− 3)代入得t=224+(− 3)23=2，故所求方程为x28+y26=1;若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为y24+x23=λ(λ>0)，将点(2,− 3)代入得λ=223+(− 3)24=2512，故所求方程为y2253+x2254=1.综上，椭圆的标准方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1．
(2)因为椭圆的离心率为35，短轴长为8，所以ca=35,2b=8,a2=b2+c2解得a=5b=4,c=3,若椭圆的焦点在x轴上，则方程为x225+y216=1;若椭圆的焦点在y轴上，则方程为y225+x216=1.综上，椭圆的标准方程为x225+y216=1或y225+x216=1．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.