高中数学3.1 椭圆精品课件ppt

[对应学生用书P120]

1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝15，b2＝16

B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9

D．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25

C　[由题意，得椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]

2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋＝1　　　 　 B．＋＝1

C．＋y2＝1     D．＋＝1

D　[依题意得＝， 2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.]

3．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)

A．　 　B．　　 C．2－ 　　D．－1

D　[由已知|PF2|＝2c，∴|PF1|＝2c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，∴e＝＝＝－1.]

4．(多选题)已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k＜9)，下列说法正确的是(　　)

A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆

B．焦距相等

C．有相同的焦点

D．离心率相等

ABC　[可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2c1＝2＝8，曲线C2的焦距为2c2＝2＝8，故B，C正确；曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故D不正确．]

5．(多选题)(2020·山东临沂市高三期末)已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)

A．椭圆C的焦距为     B．椭圆C的离心率为

C．圆D在椭圆C的内部     D．|PQ|的最小值为

BC　[由＋y2＝1可知，a2＝6，b2＝1，c2＝5，则焦距2c＝2，离心率e＝＝＝.

设P，圆心D，半径为r＝，

则＝＝＝>，故圆D在C的内部；

当PD取最小值时，|PQ|的最小值为－＝.故选B、C.]

6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)

A．     B．     C．     D．

D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为0<e<1，所以e＝.]

7．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C.充要条件     D．既不充分也不必要条件

A　[椭圆＋＝1的离心率为，

当0<m<4时，＝，得m＝3，

当m>4时，＝，得m＝，

即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．]

8．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，3)     B．

C．(0，3)∪     D．(0，2)

C　[当k＞4时，c2＝k－4，由条件知＜＜1，解得k＞；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知＜＜1，解得0＜k＜3.

综上，k的取值范围是(0，3)∪(，＋∞).]

9．(多空题)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则该椭圆的离心率是________，△ABF2的周长是________．

　8　[由题意得a＝2，c＝＝1，

∴e＝＝，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.]

10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2，3)，求此椭圆的标准方程．

解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

由题意得解得b2＝10，a2＝40.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

由题意得解得b2＝，a2＝25.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

11．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)

A．35    B．30    C．25    D．20

A　[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35．]

12．(多选题)(2020·湖南益阳市高二期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)

A．＋的最小值为2a－1

B．椭圆C的短轴长可能为2

C．椭圆C的离心率的取值范围为

D．若PF1＝F1Q，则椭圆C的长轴长为＋

ACD　[A. 因为＝2，所以F2，＝1，所以＋＝2a－＋≥2a－＝2a－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故正确；

B．若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋>1，则点P在椭圆外，故错误；

C．因为点P在椭圆内部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；

D．若PF1＝F1Q，则F1为线段PQ的中点，所以Q，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故正确．故选A、C、D.]

13．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△ABF的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

　[如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|).

∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△ABF的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3.又b＝，∴c＝2，离心率e＝＝.]

14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.

解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0).

因为长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b.　　         ①

因为椭圆过点(2，－6)，

所以＋＝1或＋＝1.           ②

由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，

故所求的方程为＋＝1或＋＝1.

(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).

因为在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，所以△A1FA2为一等腰三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，

所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.

故所求椭圆的方程为＋＝1.