人教A版高中数学(必修第一册)题型归纳讲与练专题5.9 三角函数全章八类必考压轴题（2份，解析版）

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专题5.9 三角函数全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1弧长公式与扇形面积公式的应用1．（2023下·湖南长沙·高一统考期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为（    ）  A．B．C．D．【解题思路】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.【解答过程】由该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，可得，解得，即扇环的圆心角的大小为.故选：D.2．（2023上·安徽·高三校联考期中）扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中分别在上，的长为，则该折扇的扇面的面积为（    ）               图1                            图2A．B．C．D．【解题思路】由扇形弧长公式求半径，利用扇形面积公式求得大扇形与小扇形面积，再作差即可求扇面面积.【解答过程】由弧长公式可得，，所以，则，所以该折扇的扇面面积为，故选：D.3．（2023下·江西抚州·高一统考期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是 ．  【解题思路】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.【解答过程】因为的长度为，所以，，所以勒洛三角形的面积是 .故答案为：.4．（2023下·河南平顶山·高一校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积．(1)已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数；(2)若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值．【解题思路】（1）根据题中公式求弧长，根据弧长公式求圆心角弧度数；（2）根据基本不等式公式计算.【解答过程】（1）由题意得，得径，则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为．（2）设乙宛田的弧长为l，径为d，则，得，所以乙宛田径与周之和为，当且仅当时，等号成立．故乙宛田径与周之和的最小值为．5．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？【解题思路】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.【解答过程】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，∴，即，得，∴弧田面积，而，∴.（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，∴当且仅当时等号成立.∴当时，该扇形面积最大.考点2三角函数的化简、求值1．（2023上·广东广州·高三校考阶段练习）已知，则（    ）A．B．C．D．【解题思路】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.【解答过程】由题意知，则，故选：D.2．（2023上·广西南宁·高二南宁二中校考开学考试），则的值为（    ）A．B．C．D．【解题思路】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简已知条件可得，再利用同角三角函数的关系可求得结果【解答过程】由，可得，即，所以.故选：C.3．（2023下·上海静安·高一校考期中）已知，则的值为 ．【解题思路】利用同角三角函数的关系将正余弦化为正切求解即可【解答过程】由，得，所以，解得，故答案为：.4．（2023·全国·高三对口高考）已知，求值：(1)；(2)；(3).【解题思路】（1）将平方即可求得答案；（2）利用立方和公式结合同角的三角函数关系即可求得答案；（3）结合（1）的结果，将化为，继而化为，即可得到关于的方程，即可求得答案.【解答过程】（1）由可得，即；（2）；（3）由于，故，即，由于，故，故.5．（2022下·宁夏银川·高一银川二中校考期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【解题思路】（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【解答过程】（1）由知，  原式=；（2）      ，又            ，原式===.考点3诱导公式的综合应用1．（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）已知是第四象限角，且，则（    ）A．B．C．D．【解题思路】利用已知条件化简求出的值，然后利用诱导公式及弦化切，计算即可.【解答过程】由，解得或．因为是第四象限角，所以，故．故选：D.2．（2023下·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（    ）A．B．C．D．【解题思路】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可.【解答过程】    又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：.3．（2023上·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则 .【解题思路】求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式计算作答.【解答过程】由，得，，即点，，因此，所以.故答案为：.4．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【解题思路】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；（2）依题意可得，然后利用诱导公式和平方关系可得.【解答过程】（1），因为，所以，又，所以．（2）由（1）知，因为，所以，令，则，，所以.5．（2023上·贵州铜仁·高一校考阶段练习）已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．【解题思路】（1）利用诱导公式即可化简 .（2）利用诱导公式求得利用诱导公式，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.【解答过程】（1） ．（2）∵为第三象限角，且，∴，．考点4由三角函数的值域（最值）求参数1．（2023上·上海浦东新·高三校考期中）奇函数在区间上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【解题思路】根据函数奇偶性求出，从而，根据得到的范围，结合正弦函数的性质列出不等式组，求出的取值范围.【解答过程】因为为奇函数，所以，即，所以，当时，则，所以，解得，故选：C.2．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则m的最大值是（    ）A．B．C．D．【解题思路】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案.【解答过程】因为值域为，所以.又，所以，根据正弦函数的图象可知，解得，所以m的最大值是.故选：C.3．（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 .【解题思路】根据三角函数的单调性和周期，求得的一个取值范围，结合三角函数的最值，求得的另一个取值范围.根据两个取值范围的交集，求得的取值范围.【解答过程】由，可得，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，由，得，因为函数在区间上恰好取得一次最大值，所以，解得，综上的取值范围是.故答案为：.4．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数在上单调递减.(1)求的最大值；(2)若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.【解题思路】（1）将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.【解答过程】（1）由条件知则，由正弦函数的性质可知：又有，当时，符合题意；当时，不等式，舍去，所以的最大值为.（2）因为的图象关于点中心对称，所以.即，由（1）得：，所以，则，当时，，因为在上的值域为，所以，则，解得，所以m的取值范围是.5．（2022上·广东广州·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.【解答过程】（1）所以的最小正周期，由，解得，所以的单调递增区间为.（2）令，得，因为在区间上存在唯一的最小值为-2，所以，，即，所以实数m的取值范围是.考点5三角函数的图象与性质的综合应用1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（    ）A．B．C．D．【解题思路】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.【解答过程】由函数，其中，当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，当时，，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：C.2．（2023上·辽宁大连·高三校联考期中）设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；且，则关于x的不等式的最小正整数解为（    ）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到或，由得到最小正整数为3，由得到最小正整数为2，综上求出答案.【解答过程】由①得：，则，（1）由②得：，则，（2）且，即，联立（1）（2）得：，因为，所以，解得：，，所以，所以，将代入得：，因为，所以，所以，，，则或，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为3，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为2，比较得到答案为2故选：B.3．（2023上·北京·高三校考期中）已知函数，给出下列4个结论：①函数的值域为②存在正数m，函数在区间上无零点③函数的周期为④对任意正数m，函数在区间上有无穷多个零点其中正确的结论序号有 ①②④ ．【解题思路】先应用换元法再结合正弦函数性质根据值域判断①，根据零点判断②④，特殊值法判断③.【解答过程】,函数的值域为,①正确;存在正数 上无零点函数,所以在区间上无零点, ②正确;,函数的周期不是,③错误;对任意正数m，有无穷多个零点所以函数在区间上有无穷多个零点, ④正确;故答案为: ①②④.4．（2023上·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知，其中，，，的部分图像如图所示：  (1)求的解析式；(2)当时，求的解集；(3)若写出函数在上的零点个数.【解题思路】（1）结合图象，由最高点先算出，再由算出，最后把最高点代入函数表达式算出，结合图象算出的范围，从而求出的值即可.（2）结合（1）中所得表达式，先解表达式，将解集再与取交集即可.（3）先根据的定义将其函数表达式算出来，再根据其单调性以及函数图象上的关键点作出函数的图象，而原问题又等价于函数图象与的交点个数，通过平移直线即可求解.【解答过程】（1）如题图所示：  由函数图象中最高点的纵坐标可知，所以，又在函数图象上面，所以，解得，结合可知，所以， 由图象最高点的坐标可知，，即，所以，解得，由图可知两个点相差小于半个周期，即，所以，结合，解得，又，所以只能，所以的解析式为（2）由（1）可知，所以可将不等式转换为，所以，解不等式组得，又已知，所以只能或，综上所述：当时，的解集为.（3）由的定义可知当时，，当时，有，此时，因此，当时，有，根据正弦函数的单调性可知此时在上单调递增，又当时，有，令，解得，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，注意到，且当时，有，且，，将函数在上的零点个数，转换为函数图象与的交点个数，由以上分析画出与在上的函数图象如图所示：    由图可知，当或时，函数与的图象的交点的个数为0；当时，函数与的图象的交点的个数为1；当时，函数与的图象的交点的个数为2；综上所述：当或时，函数在上的零点个数为0；当时，函数在上的零点个数为1；当时，函数在上的零点个数为2.5．（2023下·辽宁沈阳·高一校考阶段练习），且.(1)方程在有且仅有一个解，求的取值范围．(2)设，对，总，使成立，求的范围．(3)若与的图象关于对称，求不等式的解集．【解题思路】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；（2）求出函数在上的最小值，可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；（3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得出，结合正弦函数基本性质可解此不等式.【解答过程】（1）解：因为，则，可得，因为，则，所以，，可得，所以，，当时，，作出函数与函数在上的图象如下图所示：  由图可知当或时，即当时，函数与函数在上的图象只有一个公共点，所以，实数的取值范围是.（2）解：因为，由题意，对，总，使，则，当时，，则，所以，，使得，所以，，因为，则，令，函数在上单调递减，所以，，所以，，因此，实数的取值范围是.（3）解：因为与的图象关于对称，则，因为，令，则，即，作出函数的图象如下图所示：  由可得，即，因为，故，可得，解得或，即，因此，原不等式的解集为.考点6三角恒等变换的综合应用1．（2023上·湖北武汉·高三校考期中）已知函数在区间上恰有两个极值点，且，则的值可以是（    ）A．6B．7C．8D．9【解题思路】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D选项，再计算说明C选项正确即可.【解答过程】,当时, ,A选项错误;当时, ,B选项错误;当时, ,,恰有三个极值点，D选项错误;当时, ,,恰有两个极值点，C选项正确;故选:C.2．（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（    ）A．B．的图象关于直线对称C．的图象关于对称D．在上单调递增【解题思路】首先根据三角函数的恒等变换化简函数，然后根据三角函数图象判断求解.【解答过程】,选项A:选项正确；选项B:令 ，，故有的图象关于直线对称，选项正确；选项C: 令 ，结合三角函数图象性质，的图象不关于对称，选项错误；选项D: 结合三角函数图象性质，在上单调递增.故选；C.3．（2023上·湖北荆州·高二荆州中学校考期中）已知函数，若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为 .【解题思路】利用辅助角公式可得，再由函数在上恰有两个零点可得，即可求得.【解答过程】由题意可知，，由，得由，得；由在上恰有两个零点可得，解得.故答案为：.4．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数的最小值周期为.(1)求的值与的单调递增区间；(2)若且，求的值.【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间；（2）由已知条件可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值.【解答过程】（1）解：，因为函数的最小正周期为，且。所以，解得，所以，令，得，所以的单调递增区间为.（2）解：由（1）知，则，因为，所以，因为，所以，所以，所以.5．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值；(3)若，，求的值.【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质即可得解；（2）利用正弦函数的性质即可得解；（3）由题意可得，从而利用基本关系式与正弦函数的和差公式即可得解.【解答过程】（1）因为 ，所以的最小正周期，由，得，所以的单调递减区间为.（2）由（1）知的单调递减区间为，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，，当时，.（3）因为，所以，又，则，则，所以，所以 ．考点7函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用1．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【解题思路】利用辅助角公式先化简，然后根据三角函数图象变换求得，再结合正弦函数的对称性可解.【解答过程】，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得的图象，由的图象关于轴对称得，即.又，故当时，取得最小值.故选：D.2．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校考期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【解题思路】根据二倍角公式化简，即可由平移得的表达式，即可根据余弦函数的对称性求解.【解答过程】，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以的最小值为．故选：D.3．（2023上·甘肃兰州·高三兰州一中校考期中）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为 .【解题思路】先由二倍角公式与两角和与差的正弦公式得，再结合三角函数的平移变换得，由恒成立可知，取最大值，则可求的表达式，结合的条件可得答案.【解答过程】由题意得，则，因为对任意的，均有成立，所以，即，又，所以当时，的最小值为，故答案为：.4．（2023上·辽宁大连·高三校联考期中）已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．(1)求在R上的单调递增区间；(2)将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．【解题思路】（1）先化简函数得，再根据单调性求解即可；（2）先由平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式计算即得.【解答过程】（1），由题意知，的最小正周期为，所以，解得，∴，令，，解得，所以在R上的单调递增区间为（2），，得，∵，∴，∴，∴.5．（2023下·山东济宁·高一济宁一中校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的最大值．(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为，，，．．．．．．，试确定n的值，并求的值．【解题思路】（1）利用三角恒等变换的公式化简的解析式，利用正弦函数的周期性，奇偶性求得函数的解析式，令，利用换元法转化为求最大值即可；（2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，由方程，得，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.【解答过程】（1）由题意，函数因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数，，令，，则，，，因为对称轴，所以当时，，即的最大值为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，由方程，即，即，，，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图，可得方程在有5个解，即，其中，，，，即，，，，解得，，，，所以．考点8三角函数的应用1．（2023·高一课时练习）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（    ）A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在 时的高度 C．每秒钟小球往复运动的次数为D．从 到 ，弹簧长度逐渐变长【解题思路】根据函数解析式可判断小球的最高点和最低点相距，判断A;将代入可判断B;求出的最小正周期以及频率，可判断C;结合函数的单调性，可判断小球的运动状态，进而判断弹簧长度的变化，判断D.【解答过程】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式确定，则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是，故小球的最高点和最低点相距，A错误；小球在 时的高度，B错误；由知，最小正周期，则频率为，则每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；由题意知当时，单调递减，时，小球在平衡位置，因为且，故，所以即递减，时，小球在平衡位置以上位置，时，小球在平衡位置以下位置，即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，故选：D.2．（2022·江西赣州·高三校联考阶段练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）  A．转动后点距离地面B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C．第和第点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为：，由题意得：， ，则 ，所以 ，选项A，转到后，点距离地面的高度为：，故A不正确；选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故B不正确；选项C，因为 ，，所以 ，即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；选项D，令，则 ，由，解得 ，所以，即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D正确；故选：D.3．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.①；②点第一次到达最高点需要的时间为；③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；④若在上的值域为，则的取值范围是；其中所有正确结论的序号是 ①④ .【解题思路】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断①；根据旋转角度即可判断②和③；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断④.【解答过程】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，所以点距离水面的高度的最值为，所以，因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，因为，所以，又因为，所以，故①正确；对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为，所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误；对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动，则所需要的时间是，故③错误；对于④，若在上的值域为，则在上的值域为，因为，所以，所以，则，故④正确.故答案为：①④.4．（2023·全国·高一课堂例题）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．  (1)试确定在时刻时，点离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过100m的时间有多长？【解题思路】（1）以摩天轮的中心点为原点，建立直角坐标系，根据题意，结合三角函数的性质，即可求解；（2）根据题意，令，求得，即可得到答案.【解答过程】（1）解：如图所示，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点，轴和轴分别平行和垂直于地平面，建立直角坐标系，点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动，在时间内所转过的角度为，可得与的夹角为，于是，点的纵坐标．因此点离地面的高度．  （2）解：根据题意，令，可得，因为，所以，解得，因此在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时间有．5．（2023上·上海浦东新·高三校考阶段练习）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；（1）当时，求四边形的面积.（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.【解题思路】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.【解答过程】（1）连结，则，四边形的面积为；（2）由题意，在中，，由正弦定理，同理在中，，由正弦定理，，令，，时，即，的最大值为5.