新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第24讲 导数与三角函数完美结合问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，其中为实数，是自然对数的底数．
（1）若，证明：；
（2）若在上有唯一的极值点，求实数的取值范围．
例2．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，对，，
①证明：；
②若恒成立，求实数的范围；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
例3．设函数，．
（1）当，时，判断的单调性；
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．
例4．设函数．
（1）当，时，判断的单调性；
（2）若当时，不等式有解，求证：．
例5．已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
例6．已知函数，为的导数．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
例7．已知函数，为的导数．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【同步练习】
1．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
2．已知函数．求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在上有且仅有2个零点．
3．已知函数，，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，讨论的零点个数．
4．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在，有解，求的取值范围．
5．已知函数，，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在，恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当，时，证明：．
6．已知函数，，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：，，；
（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围．
7．已知函数，，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：，，；
（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．
8．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：对，，；
（2）若函数在，上存在两个不同的零点，求实数的取值范围．
9．已知函数．
（1）若，讨论方程根的情况；
（2）若，，讨论方程根的情况．
10．已知函数，为的导函数，证明：
（1）在区间，上存在唯一极大值点；
（2）在区间，上有且仅有一个零点．
11．已知函数，其中为非零常数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
12．已知函数．
（1）判断函数在上的单调性；
（2）证明函数在内存在唯一的极值点，且．