新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第29讲 三次函数问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则
A．B．C．8084D．8088
【解析】解：因为函数，
则，，
令，解得，且（1），
由题意可知，的拐点为，
故的对称中心为，
所以，
所以．
故选：．
例2．设是的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，，其中满足．
（1）函数的对称中心为 ；
（2）现已知当直线和的图象交于，，，，，三点时，的图象在点，点处的切线总平行，则过点可作的 条切线．
【解析】解：（1）的导数为，
，由，可得，，
可得的对称中心为；
（2）曲线在点，点处的切线总是平行的，
，两点关于的对称中心对称，故而为的对称中心，
又直线横过点，
的对称中心为，即，
．①
由可得，
令可得，②
由①②可得，．
曲线的方程为：，，
曲线在点，的切线方程为，
把代入上式，整理得，即，
有两解，
即过点的切线有2条．
故答案为：，2．
例3．已知函数．
（1）求在区间，上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
【解析】解：（1）由得．
令，得或．
因为，，，（1），
所以在区间，上的最大值为．
（2）设过点的直线与曲线相切于点，，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，因此．
整理得．
设，
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”．
，
与的情况如下：
所以，是的极大值，（1）是的极小值．
当，即时，此时在区间，和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．
当（1），即时，此时在区间和，上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点．
当且（1），即时，因为，（2），所以分别在区间，，，和，上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和，上恰有1个零点．
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，
的取值范围是．
例4．已知函数，其中，为常数．
（1）当时，若函数在，上的最小值为，求的值；
（2）讨论函数在区间上的单调性；
（3）若曲线上存在一点，使得曲线在点处的切线与经过点的另一条切线互相垂直，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，所以函数在，上单调递减，（2分）
由 （1），即，解得．（4分）
（2）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，
因为△，有两个不等实根，（5分）
①当方程在区间上无实根时，有
解得．（6分）
②当方程在区间，与上各有一个实根时，
有：（a），或，解得．（8分）
③当方程在区间上有两个实根时，有，
解得．
综上：当时，在区间上是单调增函数；
当时，在区间上是单调减函数，在区间，上是单调增函数
当时，在区间，，上是单调增函数，在区间，上是单调减函数．
（3）设，，则点处的切线斜率，
又设过点的切线与曲线相切于点，，，则点处的切线方程为
，
所以，
化简，得．（12分）
因为两条切线相互垂直，所以，
即．
令，则关于的方程在，上有解，（14分）
所以（当且仅当时取等号），
解得，
故的取值范围是．（16分）
例5．已知函数，．
（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；
（2）若，且有三个不同的零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若，，试讨论是否存在，，，使得．
【解析】解：（1），函数，，令，可得或，
因为时，，由三次函数的图象可知，，在内没有零点，
所以，在内有且只有一个零点，可得，
可得，解得．
（2），当时，，此时不存在三个相异零点；
当时，函数，，
△，有两个根，，
要使有三个不同零点，极大值与极小值乘积小于0，
，
不妨设的三个零点为，，，且，
则，
，①
，②
，③
②①得，
，，④
同理，⑤
⑤④得，
，，
又，，，
，即，即，，，
因为函数的极小值为：．
存在这样实数满足条件．
（3）
．
若存在，，，使得，即，
则关于的方程在，，，内必有实数解．
，△，
方程的两根为，即，
，，
依题意有，且，
即，且，，且，
得，且．
当，，时，存在唯一的，，，使得．成立；
当，，时，不存在，，，使得．成立．
【同步练习】
一．选择题
1．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
【解析】解：直线与曲线相交，交点依次为，，，且，可知直线经过曲线的对称中心，
，可得，，令，解得，所以曲线的对称中心，
显然满足或，排除选项、．
不妨直线方程为：与曲线，联立消去，可得：，
化为，可得另2个解：，或，
对应点分别为，，此时满足，
所以则直线的方程为：．
故选：．
2．已知函数，若，且和的零点均在集合，1，中，则函数的极小值为
A．0B．0或C．D．32
【解析】解：因为，
所以，
令，解得：或，
令，解得：或；
因为，，都在集合，1，中；
所以，，，
所以，，
当，即时，有极小值为（1），
故选：．
二．填空题
3．对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算 ．
【解析】解：，令得，（1），
所以的对称中心为，
所以，
则
，
所以．
故答案为：4038．
三．解答题
4．设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
【解析】解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．
函数在上单调递增，
．
5．已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）若函数存在极值点，且，其中，求证：；
（3）用，表示，中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，，
，
令得，，
函数的单调递减区间为；
（2），，
函数存在极值点，，
令得，，
不妨设，，
，其中，
，即，又，
，即，
分解因式得：，又，
；
（3）①当时，，
，，
故函数在时无零点，
②当时，（1），（1），
若，则（1），（1），故是函数的一个零点，
若，则（1），，故不是函数的一个零点，
③当时，，因此只需考虑在内的零点个数即可，
，令得，
当时，，在上单调递增，而，
在上恒成立，
函数在内无零点，
当时，，在上单调递减，而，（1），
函数在上有1个零点，
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
，
若，即时，在内无零点，
若，即时，在内有唯一零点，
若，即时，由，（1），
当时，在内有2个零点，
当时，在内有1个零点，
综上所述，当时，函数有3个零点．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．
【解析】解：（1）．
①当时，，
且仅当，时，，
所以是上的增函数；
②当时，，有两个根，
，，
当时，，是增函数．
当时，，是减函数．
当时，，是增函数．
（2）由题意，，是方程的两个根，
故有，，，
因此
，
同理．
因此直线的方程为：．
设与轴的交点为，得，
，
由题设知，点，在曲线上，故，
解得，或或
7．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）设有两个极值点，，若过两点，，，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．
【解析】解：（1）当时，，
则；
令得，或；
当时，的极大值为9，当时，的极小值为．
（2）；
①当时，，是上的增函数，
②当时，有两个根，，；
当，时，；
故的单调增区间为
，，；
当时，；
故的单调减区间为，；
（3）由题设知，，是的两个根，
，且，；
，
同理，，
则直线的解析式为；
设直线与轴的交点为，，
则，
解得，；
代入得，
；
，在轴上，，
解得，或或．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）．
令，解得，或．
①时，，函数在上单调递增．
②时，函数在，，上单调递增，在上单调递减．
③时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）由（1）可得：
①时，函数在，上单调递增．则，（1），解得，，满足条件．
②时，函数在，上单调递减．
，即时，函数在，上单调递减．则，（1），解得，，满足条件．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．则最小值，
化为：．而，（1），最大值为或．
若：，，解得，矛盾，舍去．
若：，，解得，或0，矛盾，舍去．
综上可得：存在，，使得在区间，的最小值为且最大值为1．
，的所有值为：，或．
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1），
当时，令，得或，令，得，
故函数在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，同理得，函数在上单调递减，在，，上单调递增，
（2）假设存在满足条件的，，
①当时，在，上单调递增，在，上单调递减，
所以，
若，
则，（舍，
若，则（舍，
②当时，由（1）知，在，上单调递减，
故当时函数取得最大值，
当时，函数取得最小值，
所以，，
③当时，由（1）知，在，上单调递增，
故当时函数取得最小值，
当时，函数取得最小值，
所以，，
综上，，或，
10．已知函数且．
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，，使得在区间，上的最小值为，最大值为0，若存在，试求出实数，，若不存在，说明理由．
【解析】解：（1），
由得或，由．得．
当时，在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．
当时，在上为减函数．
当时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数．
综上，时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数；
时，在上为减函数；
时，在上为减函数，在上为增函数，上为减函数；
（2）由（1）知，
当时，函数在，单调递增，，无解；
当时，，函数在上单调递增，在单调递减，
又，
结合题设，则有，即，
令，
则，
则有时，单调递减．
时单调递减，
，
在上无零点，方程组无解；
当时，由（1）可知在，单调递减，
，，
解得，，
综上，．
11．在上定义运算：、是常数），已知，，．
①如果函数在处有极值，试确定、的值；
②求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
③记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
【解析】解：①依题意，
解
得或．
若，，
，在上单调递减，
在处无极值；若，，
，直接讨论知，
在处有极大值，所以为所求．
②解得或，切点分别为、，
相应的切线为或．
解
得或；
解
即
得或．
综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，
斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和
、．
③．若，则在，是单调函数，
，（1），，
因为（1）与之差的绝对值（1），所以．
若，在，取极值，
则，（1），（b），（b）．
若，（1）
；
若，（1）（b），
，（b）．
当，时，在，上的最大值．
所以，的取值范围是．
12．在上定义运算、为实常数）．记，，．令．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定、的值；
（Ⅱ）求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记的最大值为．若对任意的、恒成立，试求的最大值．
【解析】解：依题意：已知，，．
得，
解得或．
若得，
，
，在上单调递减，在处无极值；
若，，
，直接讨论知，
在处有极大值，所以即为所求；
（Ⅱ）得或，切点分别为、，
相应的切线为或．
解，
得或；
解，
即
得或．
综合可知，时，斜率为的切线只有一条，与曲线的公共点只有，时，
斜率为的切线有两条，与曲线的公共点分别为、和、
（Ⅲ）．
若，则在，是单调函数，
因为，所以函数的对称轴位于区间，之外，
所以在，上的最值在两端点处取得．
故应是（1）和中较大的一个．
假设，则，
（1），
将上述两式相加得：，导致矛盾，
所以．
若，在，取极值，
则，（1），（b），（b）；
若，（1）（b）
则（1），（b）（1）（b）
若，（1）（b），
，（b）（b）
当，时，在，上的最大值．
所以，的取值范围是，．的最大值为．
13．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和．
（Ⅰ）函数的单调递减区间为 ， ，极大值点为 ；
（Ⅱ）求实数，的值；
（Ⅲ）若恰有两个零点，请直接写出的值．
【解析】解：（Ⅰ） 导函数的图象如图所示，过点和．
可得：时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．
函数的单调递减区间为，极大值点为．
故答案为：，．
（Ⅱ），
由题意知，
即
解得
（Ⅲ）由可得：，
由可得：为极大值点，1为极小值点．
恰有两个零点，
，或（1），
或0．
14．已知函数．
（1）求的极大值点；
（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围．
【解析】解：（1），
令，得或，
若，则当时，；
当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若，则当时，；
当时，，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时的极大值点为；
若，在上单调递增，无极值．
（2）设过点的直线与曲线相切于点，，
则，且切线斜率，
所以切线方程为，
因此，整理得，
构造函数，
则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，
，
与的关系如下表：
所以的极大值为，极小值为（1），要使有三个解，
即且（1），解得，
因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是．
15．已知，，函数．
（1）若函数的图象过点，且在点处的切线斜率是3，求，的值；
（2）若是函数的极大值点，且，时，的最小值为，求的值．
【解析】解：（1），
由题意可得，
解得，，；
（2），
由题知，即有，
由韦达定理得另一极值点为，
故，解得．
在内递增，在内递减，
在内递增，
①当，即时，在，上单调递减，
（2），得，舍去．
②当，即时，
，
得，
或（舍去）
综上，．
16．已知函数，，．
（1）若，
①当时，求函数的极值（用表示）；
②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线，的斜率分别为，，且，求，满足的关系式．
【解析】解：（1）①函数，，．
，
，，
令，解得，或．
由知，，，单调递增，
，，单调递减，
，，，单调递增，
的极大值为，的极小值为．
②当时，，此时不存在三个相异零点；
当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为．
要使有三个不同零点，则必须有，
即或．
不妨设的三个零点为，，，且，
则，
，①
，②
，③
②①得，
，，④
同理，⑤
⑤④得，
，，
又，．
，即，即，
存在这样实数满足条件．
（2）设，，，，则，，
又，
由此可得，化简得，
，
，
．
17．设函数，其中
（Ⅰ）当曲线在点，（1）处的切线斜率
（Ⅱ）已知函数有三个互不相同的零点0，，，且．若对任意的，，（1）恒成立，求的取值范围．
【解析】解：时，，，（1）．
当曲线在点，（1）处的切线斜率．
由题设，
，
方程有两个相异的实根，，
故，且△，
，解得，
，，
故．
①当时，（1），而，不符合题意，
②当时，对任意的，，都有，，，
则，
又，所以在，上的最小值为0，
于是对任意的，，（1）恒成立的充要条件是（1），
解得，
，
即有的取值范围是．
18．已知函数．
（1）若函数有三个零点分别为，，，且，，求函数的单调区间；
（2）若，，证明：函数在区间内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．
【解析】（1）因为函数，又，，则，，（1分）
因为，是方程的两根，
则，，得，，（3分）
所以．
令 解得：，
故的单调递减区间是，单调递增区间是，． （5分）
（2）因为，，所以，即．
又，，所以，，即．．（7分）
于是，，（2）．（8分）
①当时，因为，，而在区间内连续，则在区间内至少有一个零点，设为，则在，，
单调递增，在，，单调递减，故函数在区间内有极大值点； （9分）
②当时，因为，（2），则在区间内至少有一零点．
同理，函数在区间内有极小值点．
综上得函数在区间内一定有极值点． （10分）
（3）设，是函数的两个极值点，则，也是导函数的两个零点，由（2）得
，则，．所以
由已知，，则两边平方，得出，或，即，或
又，，所以，即．
因为，所以．
综上分析，的取值范围是，．
19．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）函数的导数为，
可得在点，处的切线斜率为，
切点为，可得切线的方程为；
（2）设，即有，
由，可得，
由的导数，
当或时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极大值，且为0；
在处取得极小值，且为，
由函数有三个不同零点，可得，
解得，
则的取值范围是．
20．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；
（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．
【解析】解：（1）函数的导数为，
可得在点，处的切线斜率为，
切点为，可得切线的方程为；
（2）设，即有，
由，可得，
由的导数，
当或时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极大值，且为0；
在处取得极小值，且为．
由函数有三个不同零点，可得，
解得，
则的取值范围是；
（3）证明：若有三个不同零点，令，
可得的图象与轴有三个不同的交点．
即有有3个单调区间，
即为导数的图象与轴有两个交点，
可得△，即，即为；
若，即有导数的图象与轴有两个交点，
当，时，满足，
即有，图象与轴交于，，则的零点为2个．
故是有三个不同零点的必要而不充分条件．
另解：必要性：若连续函数有三个零点，那么的单调性变化至少两次，
其导数有两个零点，从而△，即；
非充分性：取，，，，导数为，
于是其极大值，极小值（1），
所以只有一个零点．
0
1
0
0

1


0
0
增
9
减
增
1
0
0
极大值
极小值