新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题13 导数与三角函数结合的解答题（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145102757" 题型1分段分析法 PAGEREF _Tc145102757 \h 1
\l "_Tc145102758" 题型2放缩法 PAGEREF _Tc145102758 \h 2
题型1分段分析法
【例题1】（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【变式1-1】1. （2020春·福建福州·高三统考阶段练习）已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点.
【变式1-1】2. （2019秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数.
（1）证明：，；
（2）判断的零点个数，并给出证明过程.
【变式1-1】3. （2021·甘肃平凉·静宁县第一中学校考模拟预测）已知函数f（x）＝lnx﹣sinx+ax（a＞0）．
（1）若a＝1，求证：当x∈（1，）时，f（x）＜2x﹣1；
（2）若f（x）在（0，2π）上有且仅有1个极值点，求a的取值范围．
【变式1-1】4. （2021·天津和平·耀华中学校考一模）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在上零点的个数.
【变式1-1】5. （2021秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知函数.
（1）当时，求零点的个数；
（2）当时，求极值点的个数.
【变式1-1】6. （2020秋·江西南昌·高三南昌市第十九中学校考阶段练习）已知函数，，.
（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；
（2）若任意，恒成立，求的取值范围.
【变式1-1】7. （2021·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈
（1）证明∶关于x的方程f(x)-g(x)=x在上有且仅有一个实数根；
（2）当x∈时，f(x)≥ag(x)，求实数a的最大值.
题型2放缩法
【例题2】（2022秋·河南·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)设且，求函数的最小值；
(2)当，证明：.
【变式2-1】1. （2022秋·北京昌平·高三校考阶段练习）已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【变式2-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．
（1）试讨论的极值点；
（2）①若，证明：当时，恒成立；
②当时，恒成立，求的取值范围．
【变式2-1】3. （2021秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数（）（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若，证明对于任意的恒成立.
【变式2-1】4. （2020秋·河南·高三校联考阶段练习）（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.
【变式2-1】5. （2020·江西·校联考模拟预测）已知函数，（且，e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
1. （2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2019·全国·高考真题）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．