新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第23讲 拐点偏移问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．（Ⅰ）证明：，，；
（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有．
【解析】解：（1）令 ，当，时， ，
故在区间，上单调递增，从而，
由于为偶函数，所以当，时， ，
故，，．
（2）结合（1）可知 ，
所以，易证，故为原不等式成立的必要条件，
下面证明充分性，当时， ，
令 ，易知为偶函数．设，，则 ，
令 ，则 ，
故在，上单调递减，即，
故在，上单调递减，，
故当时，原不等式在，上恒成立，
综上，的取值范围为，．
（3）当时， ，在（2）中令， ，则有 ，下面证明即可，即证，
解法一：，即 ，
，，
易知 在处取得最小值1，则，
又，所以．
综上，当时，恒有 ．
解法二：不妨令，
在上，，则在上单调递增，
又（1），所以要使，则需，要证，即证，即证，
又，
所以即证，
设，，，则，
故在，上单调递增，（1）（1），
令，可得，所以，即，所以．
综上，当时，恒有 ．
例2．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若正实数，满足，证明：．
【解析】解：（1），（1），（1），
切线方程是：，即；
（2）令，
，
时，，，在递增，
（1），
关于的不等式不能恒成立，
时，，
令，得，
时，，，时，，
故函数在递增，在，递减，
故函数的最大值是，
令（a），则（a）在递减，
（1），（2），
时，（a），故整数的最小值是2；
（3）证明：由，
得，
从而，
令，则由，
得，可知在区间递减，在递增，
故（1），
，
又，
故成立．
例3．已知函数，且为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，且，求证：．
【解析】（Ⅰ）解：，
由为增函数可得，恒成立，即，得，
设，则，
由，得，由，得．
在上减，在上增，在1处取得极小值即最小值，
（1），则，即，
当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，
；
由可得，，即，
由之前讨论可知，，当时，恒成立，
当时，由，得，
综上；
（Ⅱ）证明：，
，
，
，
即，
则
，
令，，
则，在上增，在上减，（1），
，
整理得，
解得或（舍，
．
例4．已知函数，其定义域为．（其中常数，是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【解析】解：（1）易知，
①若，由，解得：，
故函数在递增，
②若，令，解得：，或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
③若，则，
故函数在递增，
④若，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在，递增，
综上，若，在递增，
若，在，递增，
若，在递增，
若，在，，递增；
（2）函数在递增，
，即，
注意到（1），故（1），
即证，即证，
令，，
只需证明（1），
故，
下面证明，即证，
由熟知的不等式可知，
当时，即，
故，
易知当时，，
故，
故，
故，即递增，即（1），
从而．
例5．已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若实数，满足，求证．
【解析】解：（1）已知函数．所以，
由在上单调递增，
故当时，恒成立，
即恒成立，
设，，
因为，所以，，
所以，即，
故在上单调递增，
所以，故；
（2）当时，，
，
故在上单调递增，
又因为且，
故，
要证，只需证，
因为在上单调递增，
故只需证，
即只需证，
即只需证，
令，，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
故在上单调递减，
故，
故原不等式成立．得证．
例6．已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若实数，满足，求证：．
【解析】解：（1）
由在上单调递增，
故当时，恒成立
即
设，
，
，，
，即在上单调递增，
故，
．
（2）证明：当时，，
在上单调递增，
又且，
故
要证，只需证
即证，只需证
即证
令，
令，
，
在上单调递增
，故在上单调递减，
（1）．
故原不等式成立．
例7．设函数，．
（Ⅰ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）若，当时，求证：．
【解析】（Ⅰ）解：，
当时，，令得：，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，由，得：，
当时，，则对恒成立，
在区间上单调递增，且，所以不符合．
故：的取值范围为．
（Ⅱ）证明：，
，得：，
若或，则结论显然成立．
当时，证：证：，
令：，，，所以为单调递增函数，
则，证：证：，而，
所以等价于证：，即证：，，
令：，，
得：在区间上递增，在区间上递减，
，因为，所以，所以，
故：得证．
例8．设函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）时，若，，求证：．
【解析】解：（Ⅰ），
令，
，
当时，，函数单调性递减，
当时，，函数单调性递增，
，
当时，即时，，函数在上单调递增，
当时，，
易知当时，，当时，，
由零点存在性定理知，存在，，不妨设，使得，
当，，，，当，，，
函数在，，上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅱ）证明：构造函数，，
，
，
，当时取等号，
在，上单调递增，则，
在，上单调递增，
，
不妨设，
要证，只需证，
由（Ⅰ）知时，在上单调递增，则有，
由，有，
只需证，
即证，
由在，上单调递增，且时，
有，
故，问题得以证明．
例9．已知函数为常数）在处的切线方程为．
（1）求的值，并讨论的单调性；
（2）若，求证：．
【解析】解：（1），
由题意可得，（1），解可得，
此时，
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
故（1）恒成立，
故在上单调递增，
（2）设，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值（1），
故，即，
令，
则
设，则，
故单调递增，单调递增，且（1），
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），即，当时等号成立，
所以，又，
所以即，
由在上单调递增，
所以，即．
例10．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
（Ⅲ）若正实数，满足，证明：．
【解析】解：（Ⅰ），
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为，函数的增区间是．
（Ⅱ）令，
所以．
因为，
所以．
令，得．
所以当，；
当时，．
因此函数在是增函数，在，是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，
又因为（a）在是减函数．
所以当时，（a），
即对于任意正数总有．
所以关于的不等式恒成立．
（Ⅲ）由，
即，
从而．
令，则由得，．
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以（1），
所以，
又，
因此成立．
【同步练习】
1．已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
【解析】（1）因为，定义域为，.
①当时，令，解得
即当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
②当时，在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）若时，都有，
即，恒成立.
令，则，，
令，所以，
当时，
，单调递增，，
所以，在单调递减，
所以=，所以
（3）原式可整理为，
令，原式为，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
则为两根，其中，不妨令，
要证，
即证，，
只需证，
令，，，
令，则，，单调递增，
，，单调递减.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得证.
2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)函数的定义域为，又，
当时，，当时，，
故的递增区间为，递减区间为
(2)因为，故，
即，故，
设，则，
不妨设，由（1）可知原命题等价于：已知，证明： .
证明如下：
若，恒成立；
若， 即 时，
要证：，即证，而，即证，
即证：，其中
设，，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，
所以成立，
综上，成立.
3．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知，且，若，求证：.
【解析】(1)，令，则，
∴在单调递增，
注意到
∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增
∴在单调递减，在单调递增
(2)等价于，等式两边同除以得：
，即
由（1）知：在单调递减，在单调递增
∴，一正一负，不妨设
构造新函数，则
∴
令，则
当时，显然恒成立，所以
又对恒成立，
所以在时，，即单调递减
∵
∴，即
∵
∴
其中，，且在单调递减
∴，即
4．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
5．已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若，且，证明: .
【解析】（1）
当时，， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；
当时，， 所以单调递减；， 所以单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当时，
由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令
要证，即证：
①当时，成立；
②当时
先证
此时
要证，即证：，即，即
即： ①
令 ，
∴
∴在区间上单调递增
∴，∴①式得证.
∴
∵，
∴ ∴ ∴
6．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)因为的定义域为，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为.
(2)证明：因为，则，即，
由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，
构造函数，则，
令，则.
当时，，则，此时函数单调递减，
当时，，则，此时函数单调递减，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，
当时，，即，故函数在上为增函数，
故，所以，，
且，函数在上为减函数，故，则.
7．已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
【解析】（1），其中
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值.
若，当时，；
当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值.
（2）方程即为，
故，
因为为上的增函数，所以
所以关于的方程有两个不等的实数根即为：
有两个不同的实数根.
所以，所以，
不妨设，，故，
要证：即证，
即证，即证，
即证，
设，则，
故，所以在上为增函数，
故，所以在上为增函数，
所以，故成立.
8．已知．
(1)当、时，求在上的最大值；
(2)若对任意，均有两个极值点、．
①求实数的取值范围；
②当e时，证明：e．（注：e为自然对数的底数）
【解析】（1）当、时，e,其定义域为，
e，令g(x)=e，，则e
则在上单调递增，
∴e，即，
即在上单调递减，
∴当时，取最大值为e；
（2）∵e的定义域为，e，
①对任意，e有两个不同零点，
令e，∴e，令，解得，
当时，，则在内单调递增，
当时，，则在内单调递减，
∴当时，取极小值也是最小值为，
又当时，当时，
∴只需，即，
构造新函数，其定义域为，，
令，解得，
当时，，则在内单调递增，
当时，，则在内单调递增，
∴当时，取极大值也是最大值为，∴；
②当e时，eex-b，由①得，
令，∴
∴，∴，
∴、，
∵由①得在上单调递增，、，
∴，∴，
∵由①得在上单调递减，
∴，
令，
∴，令，
则，∴，
∵，∴，即．
9．已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，
而，
当时，，，
为单调递增函数，
当时，成立；
当时，存在大于1的实数，使得，
当时，成立，
在区间上单调递减，
当时，；
不可能成立，
所以，即的取值范围为.
（2）证明：不妨设，
正实数、满足，
有（1）可知，，
又为单调递增函数，
所以，
又，
所以只要证明：，
设，则，
可得，
当时，成立，
在区间上单调增函数，
又，
当时，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
10．有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．
(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；
(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，
【解析】（1）设(x>0)，求导得：，
则当时，，当时， ，
即在上递增，在上递减，
因此，当时，，当且仅当x=e时取“=”，
于是得方程有唯一的零点，即方程有唯一的零点，
所以，函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点，猜想（1）正确.
（2），由（1）知方程在内有两个根，分别在区间和内，如图，
因，，且，由得，
则，是方程的两个根，不妨设，，
设(x>1)，，
当时，，，则当时，，在上递增，
由此得，当时，，从而得，
而，因此，，
显然，又，且在递减，则，即，
所以，猜想（2）正确.
11．已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】（1）的定义域为，.
当时，；当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）证明：易知，，
即，.
不妨设，，.
（1）可知，，
当时，，
当时，，
设，，
则，
因为，，
所以，在区间上单调递增，
，
所以，
又因为，，所以，
即，故.